Стоимость денег с учётом фактора времени
Стоимость денег с учётом фактора времени (временна́я це́нность де́нег, стоимость денег во времени, теория временной стоимости денег, англ. time value of money) — концепция, в соответствии с которой сегодняшний денежный доход (расход) имеет большую ценность, чем завтрашний, при одинаковой сумме.
Утверждение о временной ценности денег является одним из основных положений финансовой математики. Различие в ценности связано с тем, что деньги могут быть инвестированы и принести доход. Поэтому собственник денег может требовать компенсацию неполученного дохода. Неполученный доход выступает в роли альтернативных издержек.
Сходная задача возникает в теории потребительского поведения и выбора. Потребителю необходимо выбрать между тем, какую часть текущего дохода потребить сегодня, а какую сберечь, чтобы потребить завтра. Оптимальный выбор потребителя рассматривается в теории межвременного выбора.
Общие принципы
Зависимость между ценностью денег и длительностью ожидания была очевидна уже в Средние века. Например, Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 г. писал, что «сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Это утверждение называют также «золотым» правилом бизнеса.
Согласно профессору Энтони А. Аткинсону, стоимость денег во времени — это альтернативная стоимость их использования. Деньги, как и любой товар, имеют ценность и могут приносить доход. Поэтому их ценность зависит от того, когда они расходуются или поступают[1]. При выборе между вариантами вложений агенту приходится сравнивать ожидаемые будущие выгоды от каждого из вариантов. Возникают альтернативные издержки, связанные с принятием решения. При выборе конкретного варианта рациональный агент потребует компенсации упущенной выгоды от наилучшего варианта вложений. Компенсация должна быть тем больше, чем длиннее период, в течение которого придется ждать возврата инвестиций.
Деньги могут быть использованы также и для потребления, от которого собственник получает некоторую полезность. Отказ от полезности в пользу одного из вариантов инвестирования также требует компенсации.
Изменение ценности денег во времени приводит к двум важным выводам.
- Фактор времени должен явным образом учитываться при принятии инвестиционных решений и проведении различных финансовых операций.
- С точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций, некорректно суммировать денежные величины, относящиеся к разным периодам времени.
Расчет стоимости денег
Дисконтирование
Основной операцией, которая помогает сравнивать разновременные потоки платежей является операция дисконтирования. Обратная по отношению к ней операция называется компаундингом. В финансовом менеджменте для работы с денежными величинами, относящимися к разным периодам времени, используют операцию приведение этих денежных величин к одному периоду. Для этого потоки платежей пересчитывают по ставке дисконтирования на определенный период. Различают два вида стоимости.
- Дисконтированная стоимость (PV, англ. Present Value), которая отражает сегодняшнюю ценность предстоящего платежа.
- Будущая стоимость денег (FV, англ. Future Value), которая отражает ценность любого платежа (в том числе и сегодняшнего) на некоторую дату в будущем. В качестве будущей даты можно выбрать любую. Важно лишь, чтобы все платежи были пересчитаны к одному и тому же моменту времени. Обычно в качестве будущей даты выбирают конец рассматриваемого периода.
Дисконтированную стоимость также называют современной, или приведенной. Будущую стоимость называют наращенной.
Предположим, что агент выбирает между тем, чтобы вложить некоторую сумму [math]\displaystyle{ S }[/math] в банк на год под номинальную процентную ставку [math]\displaystyle{ i }[/math] и вложить ее в некоторый инвестиционный проект, который принесет выгоды в размере [math]\displaystyle{ CF }[/math] через один год. Тогда агент согласится инвестировать, если выполнено условие [math]\displaystyle{ CF \ge S(1+i) }[/math], которое можно записать следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \frac{CF}{1+i} \ge S }[/math]
Слева написана дисконтированная стоимость, которая должна быть не менее первоначальной суммы [math]\displaystyle{ S }[/math], чтобы операция считалась выгодной. Формулу можно обобщить на случай, когда инвестиционный проект реализуется в течение нескольких периодов (лет, кварталов, месяцев) создает поток платежей и альтернативой является вложение под фиксированную ставку:
- [math]\displaystyle{ \sum_{t=1}^T \frac{CF_t}{(1+i)^t} \ge S }[/math]
Если собственнику денег нужно ждать получения платежа в течение ряда периодов, то альтернативой могло быть вложение во вклад, предусматривающий капитализацию процентов. Проценты присоединяются к сумме вклада по окончании каждого периода и сами становятся источником дополнительного дохода в следующем периоде. Поэтому для расчета дисконтированной стоимости каждого платежа используется формула сложных процентов.
Ставка дисконтирования
Номинальная ставка по вкладу [math]\displaystyle{ i }[/math] выступает в роли ставки дисконтирования. Если альтернативой является вложение не в банк, а в инвестиционный проект, то нужно использовать другую ставку дисконтирования, вычисление которой может потребовать дополнительных усилий и применения специальных методов. В частности, ставка должна учитывать всевозможные виды рисков, связанных с реализацией проекта. В качестве ставки дисконтирования может использоваться планируемая доходность инвестиционного проекта.
Минимально возможная ставка соответствует безрисковой доходности. В качестве ориентира в этом случае может служить ключевая ставка. Может также использоваться доходность по государственным облигациям со сроком погашения, соответствующим сроку проекта.
Дисконтированная стоимость аннуитетных платежей с ростом
Если денежные потоки аннуитетных платежей растут в (1+g) раз (ставка роста равна g), то их дисконтированная стоимость вычисляется по формуле:
- [math]\displaystyle{ PV\,=\,{CF_1 \over (i-g)}\left[ 1- \left({1+g \over 1+i}\right)^n \right] }[/math],
где [math]\displaystyle{ CF_1 }[/math] — аннуитетный платеж, осуществляемый в первый период, [math]\displaystyle{ n }[/math] — число периодов, [math]\displaystyle{ i }[/math] — ставка дисконтирования, [math]\displaystyle{ PV }[/math] — дисконтированная стоимость аннуитетных платежей.
Формула получается вычитанием формулы для расчета дисконтированной стоимости перпетуитета, начинающегося в году n из упрощенной формулы модели Гордона.
См. также
Примечания
Литература
- Аткинсон Э. А., Банкер Р. Д., Каплан Р. С., Юнг М. С. Управленческий учёт. — СПб.: ООО «Диалектика», 2019. — С. 486—487. — 880 с. — ISBN 978-5-907144-70-5.