Спектральная плотность
В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.
Если процесс [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
[math]\displaystyle{ X(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i2 \pi f t} dt. }[/math] | (1) |
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
[math]\displaystyle{ E_x=\int\limits_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df. }[/math] | (2) |
Функция [math]\displaystyle{ S_x(f)=|X(f)|^2 }[/math] характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу [math]\displaystyle{ x(t) }[/math], реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
[math]\displaystyle{ S_x(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)e^{-i2 \pi f \tau} d \tau. }[/math] | (3) |
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] определяет [math]\displaystyle{ k_x(\tau) }[/math]:
[math]\displaystyle{ k_x(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)e^{i2 \pi f \tau} df. }[/math] | (4) |
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно [math]\displaystyle{ f=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau=0 }[/math], имеем
[math]\displaystyle{ S_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)d \tau, }[/math] | (5) |
[math]\displaystyle{ \sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)df. }[/math] | (6) |
Формула (6) с учётом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину [math]\displaystyle{ S_x(f)df }[/math] можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от [math]\displaystyle{ f-df/2 }[/math] до [math]\displaystyle{ f+df/2 }[/math]. Если понимать под [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: [math]\displaystyle{ \sigma_x^2 }[/math] – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] называют спектром мощности случайного процесса.
Свойства спектральной плотности
- Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
[math]\displaystyle{ S_x(f) \ge 0 }[/math]. | (7) |
- Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и чётная функция частоты:
[math]\displaystyle{ S_x(-f)=S_x(f) }[/math]. | (8) |
- Корреляционная функция [math]\displaystyle{ k_x(\tau) }[/math] и энергетический спектр [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр [math]\displaystyle{ S_x(f) }[/math] тем «уже» корреляционная функция [math]\displaystyle{ k_x(\tau) }[/math], и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.
См. также
Литература
- Зюко, А. Г., Кловский, Д. Д., Назаров, М. В., Финк, Л. М. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
- Тихонов, В. И., Харисов, В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2.
- Тихонов, В. И., Бакаев, Ю. Н. Статистическая теория радиотехнических устройств. — М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.