Двойственное пространство

Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Определение

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве [math]\displaystyle{ E }[/math], также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к [math]\displaystyle{ E }[/math], оно обычно обозначается [math]\displaystyle{ E^* }[/math]. Множество всех линейных функционалов на [math]\displaystyle{ E }[/math], не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к [math]\displaystyle{ E }[/math], оно обычно обозначается [math]\displaystyle{ E^{\#} }[/math] .

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство [math]\displaystyle{ E^* = E^{\#} }[/math] состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на [math]\displaystyle{ E }[/math]. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда [math]\displaystyle{ E }[/math] бесконечномерное, вообще говоря, [math]\displaystyle{ E^* \neq E^{\#} }[/math].

В тензорном исчислении применяется обозначение [math]\displaystyle{ x^k }[/math] для элементов [math]\displaystyle{ E }[/math] (верхний, или контравариантный, индекс) и [math]\displaystyle{ x_k }[/math] для элементов [math]\displaystyle{ E^* }[/math] (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображения

Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть [math]\displaystyle{ V, W }[/math] — векторные пространства, а [math]\displaystyle{ V^*, W^* }[/math] — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения [math]\displaystyle{ f : V \to W }[/math] двойственное отображение [math]\displaystyle{ f^*: W^* \to V^* }[/math] (в обратном порядке) определяется как

[math]\displaystyle{ f^*(\varphi) = \varphi \circ f \, }[/math]

для любого [math]\displaystyle{ \varphi \in W^* }[/math].

Свойства

Конечномерные пространства

• Сопряжённое пространство [math]\displaystyle{ E^* }[/math] имеет ту же размерность, что и пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] над полем [math]\displaystyle{ F }[/math]. Следовательно, пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E^{*} }[/math] изоморфны.
• Каждому базису [math]\displaystyle{ e^1, \ldots, e^n }[/math] пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис [math]\displaystyle{ e_1, \ldots, e_n }[/math] пространства [math]\displaystyle{ E^* }[/math], где функционал [math]\displaystyle{ e_i }[/math] — проектор на вектор [math]\displaystyle{ e^i }[/math]:

  [math]\displaystyle{ e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E. }[/math]

• Если пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E^* }[/math] существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением

  [math]\displaystyle{ v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E. }[/math]

• Второе сопряжённое пространство [math]\displaystyle{ E^{**} }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ E }[/math]. Более того, существует канонический изоморфизм между [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E^{**} }[/math] (при этом не предполагается, что пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] евклидово), определённый соотношением

  [math]\displaystyle{ x \in E \mapsto z \in E^{**}, \quad z(f) = f(x), \ \forall f\in E^*. }[/math]

• Определенный выше канонический изоморфизм [math]\displaystyle{ E \to E^{**} }[/math] показывает, что пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E^{*} }[/math] играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для [math]\displaystyle{ x\in E, \ f\in E^* }[/math] часто пишут [math]\displaystyle{ f(x)= (x, f) }[/math] подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространства

• Если векторное пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] нормированное, то сопряжённое пространство [math]\displaystyle{ E^* }[/math] имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство [math]\displaystyle{ E^* }[/math] — банахово.

• Если пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ E^* }[/math], причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства [math]\displaystyle{ E }[/math].

• Сопряжённым к пространству [math]\displaystyle{ L^p }[/math], [math]\displaystyle{ 1 \lt p \lt \infty }[/math], является пространство [math]\displaystyle{ L^q }[/math], где [math]\displaystyle{ 1/p+1/q=1 }[/math]. Аналогично, сопряжённым к [math]\displaystyle{ l^p }[/math], [math]\displaystyle{ 1 \lt p \lt \infty }[/math], является [math]\displaystyle{ l^q }[/math] с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщения

• Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство [math]\displaystyle{ \bar E }[/math], совпадающее с [math]\displaystyle{ E }[/math] как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:

  [math]\displaystyle{ {\bar c} {\bar x} = \overline{cx} }[/math]

• При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. также

• Ковариантность и контравариантность
• Рефлексивное пространство