Соотношение Эйнштейна
В физике (главным образом в молекулярно-кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макропараметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:
- [math]\displaystyle{ D=\mu_pk_BT, }[/math]
где [math]\displaystyle{ D }[/math] — коэффициент диффузии, [math]\displaystyle{ \mu_p }[/math] — подвижность частиц, [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана, а [math]\displaystyle{ T }[/math] — абсолютная температура.
Величина подвижности [math]\displaystyle{ \mu_p }[/math] определяется из соотношения
- [math]\displaystyle{ \mu_p=V/F, }[/math]
где [math]\displaystyle{ V }[/math] — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы [math]\displaystyle{ F }[/math].
Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.
Формула Стокса — Эйнштейна
Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса
- [math]\displaystyle{ F=6\pi\eta rV, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — вязкость жидкости, [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиус частицы.
Таким образом, получается выражение:
- [math]\displaystyle{ D=\frac{k_B T}{6\pi\eta r}, }[/math]
называемое соотношением (формулой) Стокса — Эйнштейна.
Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.
Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:
- [math]\displaystyle{ D_\mathrm{rot}=\frac{k_B T}{8\pi\eta r^3}. }[/math]