Соленоид Смейла — Вильямса

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.

Определение

Отображением соленоида называют отображение

[math]\displaystyle{ F:S^1\times D \to S^1\times D }[/math]

полнотория в себя, заданное как

[math]\displaystyle{ F(\varphi,z) = (2\varphi, \frac{1}{2}e^{i\varphi} + \frac{1}{10}z). }[/math]

Здесь диск [math]\displaystyle{ D }[/math] для удобства рассматривается как единичный диск на комплексной плоскости: [math]\displaystyle{ D=\{|z|\le 1 \} }[/math].

Максимальный аттрактор [math]\displaystyle{ A_{max}(F) }[/math] этого отображения (как и всю соответствующую динамическую систему) называют соленоидом Смейла — Вильямса.

Свойства

Отображение соленоида гиперболично.
Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах [math]\displaystyle{ \Z_2 }[/math].
Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точке соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.

Ссылки

Аттрактор Смейла — Вильямса на сайте «Саратовской группы нелинейной динамики».

Литература

Синай Я. Г., Вершик А. М., Добрушин Р. Л., Динамические системы-2, ВИНИТИ.
Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.