Символ Гильберта

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из [math]\displaystyle{ K^\times \times K^\times }[/math] в группу корней [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из единицы в локальном поле [math]\displaystyle{ K }[/math] (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — локальное поле, а [math]\displaystyle{ K^\times }[/math] — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над [math]\displaystyle{ K }[/math] — это функция [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] из [math]\displaystyle{ K^\times \times K^\times }[/math] в [math]\displaystyle{ \{-1;1\} }[/math], определённая как

[math]\displaystyle{ (a,b)=\begin{cases} 1,&\mbox{ если }z^2=ax^2+by^2\mbox{ имеет ненулевое решение }(x,y,z)\in K^3;\\ -1,&\mbox{ в противном случае.} \end{cases} }[/math]

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля [math]\displaystyle{ K }[/math]:

• [math]\displaystyle{ (a^2,b)=1 }[/math] для любых [math]\displaystyle{ a,b }[/math].
• [math]\displaystyle{ (a,b)=(b,a) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ a,b }[/math].
• Для любого [math]\displaystyle{ a\in K^\times }[/math], такого что [math]\displaystyle{ a-1\in K^\times }[/math], верно, что [math]\displaystyle{ (a,1-a)=1 }[/math]

Бимультипликативность, то есть

[math]\displaystyle{ (a, b_1b_2) = (a, b_1)\cdot (a, b_2) }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ a,b_1,b_2\in K^\times }[/math]. Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора [math]\displaystyle{ K^M_2 (K) }[/math], которая определяется как

[math]\displaystyle{ K^\times \otimes K^\times / (a \otimes (1-a), a \in K \setminus \{0;1\}) }[/math]

По первому свойству он even factors над [math]\displaystyle{ K^M_2 (K) / 2 }[/math]. Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над [math]\displaystyle{ K }[/math] с базисом [math]\displaystyle{ 1,i,j,k }[/math] и правилами умножения [math]\displaystyle{ i^2=a }[/math], [math]\displaystyle{ j^2=b }[/math], [math]\displaystyle{ ij=-ji=k }[/math].

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) [math]\displaystyle{ v }[/math] из поля рациональных чисел и рациональных чисел [math]\displaystyle{ a,b }[/math] обозначим [math]\displaystyle{ (a,b)_v }[/math] символ Гильберта в соответствующем пополнении [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_v }[/math]. Как обычно, если [math]\displaystyle{ v }[/math] это показатель, связанный с простым числом [math]\displaystyle{ p }[/math], то соответствующее пополнение является полем [math]\displaystyle{ p }[/math]-адических чисел, а если [math]\displaystyle{ v }[/math] является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, [math]\displaystyle{ (a, b)_\infty=+1 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math], и [math]\displaystyle{ (a, b)_\infty=-1 }[/math], если оба [math]\displaystyle{ a,b\lt 0 }[/math].

Над [math]\displaystyle{ p }[/math]-адическими числами с нечётным [math]\displaystyle{ p }[/math] положим [math]\displaystyle{ a=p^{\alpha}u }[/math] и [math]\displaystyle{ b=p^{\beta}v }[/math], где [math]\displaystyle{ u,v }[/math] — целые числа, взаимно простые с [math]\displaystyle{ p }[/math], тогда мы получим

[math]\displaystyle{ (a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha }[/math], где [math]\displaystyle{ \epsilon(p) = (p-1)/2 }[/math]

а [math]\displaystyle{ \left(\frac{u}{p}\right), \left(\frac{v}{p}\right) }[/math] — символы Лежандра.

Над [math]\displaystyle{ 2 }[/math]-адическими числами положим [math]\displaystyle{ a=2^{\alpha}u }[/math] и [math]\displaystyle{ b=2^{\beta}v }[/math], где [math]\displaystyle{ u,v }[/math] — нечётные числа, тогда мы получим

[math]\displaystyle{ (a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)} }[/math], where [math]\displaystyle{ \omega(x) = (x^2-1)/8. }[/math]

Известно, что если [math]\displaystyle{ v }[/math] пробегает все точки (англ. place), [math]\displaystyle{ (a,b)_v=1 }[/math] для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

[math]\displaystyle{ \prod_v (a,b)_v = 1 }[/math]

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле [math]\displaystyle{ F }[/math] определяется как отображение

[math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) : F^{\times}/(F^{\times})^2 \times F^{\times}/(F^{\times})^2 \rightarrow \mathop{Br}(F) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathop{Br}(F) }[/math] — группа Брауэра поля [math]\displaystyle{ F }[/math]. Ядро этого отображения — множество всех элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ (a,b)=1 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ b }[/math] — это радикал Капланского поля [math]\displaystyle{ F }[/math].

Радикал является подгруппой [math]\displaystyle{ F^{\times}/(F^{\times})^2 }[/math], отождествляемой с подгруппой of [math]\displaystyle{ F^{\times} }[/math]. Радикал содержит группу, равную [math]\displaystyle{ F^{\times} }[/math] если и только если [math]\displaystyle{ F }[/math] не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2. С другой стороны, поле с радикалом [math]\displaystyle{ (F^{\times})^2 }[/math] называется полем Гильберта.

Символ Гильберта в общем случае

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] локальное поле, содержащее группу корней [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из единицы [math]\displaystyle{ U_n }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ n }[/math], взаимно простого с характеристикой [math]\displaystyle{ K }[/math], то символ Гильберта — это функция из [math]\displaystyle{ K^\times \times K^\times }[/math] в [math]\displaystyle{ U_n }[/math]. Его можно выразить через символ Артина как

[math]\displaystyle{ (a,b)\sqrt[n]{b} = (a,K(\sqrt[n]{b})/K)\sqrt[n]{b} }[/math]

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

[math]\displaystyle{ (ab,c) = (a,c)(b,c) }[/math]

[math]\displaystyle{ (a,bc) = (a,b)(a,c) }[/math]

кососимметричен:

[math]\displaystyle{ (a,b) = (b,a)^{-1} }[/math]

невырожден:

[math]\displaystyle{ (a,b)=1 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ b }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a\in(K^{\times})^n }[/math]

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

[math]\displaystyle{ (a,b)=1 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a }[/math] — норма элемента из [math]\displaystyle{ K(\sqrt[n]{b}) }[/math]

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

[math]\displaystyle{ (a,1-a)=1; (a,-a)=1. }[/math]

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если [math]\displaystyle{ a,b }[/math] лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из единицы, то

[math]\displaystyle{ \prod_p (a,b)_p=1 }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а [math]\displaystyle{ (a,b)_p }[/math] — это символ Гильберта в пополнении по [math]\displaystyle{ p }[/math]. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — числовое поле, содержащее корни [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из единицы, [math]\displaystyle{ p }[/math] — простой идеал, не делящий [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — простой элемент локального поля от [math]\displaystyle{ p }[/math], а [math]\displaystyle{ a }[/math] взаимно просто с [math]\displaystyle{ p }[/math], то символ степенного вычета [math]\displaystyle{ \binom{a}{p} }[/math], связанный с символом Гильберта соотношением

[math]\displaystyle{ \binom{a}{p} = (\pi,a)_p }[/math]

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая [math]\displaystyle{ \binom{a}{b}=\binom{a}{(b)} }[/math], где [math]\displaystyle{ (b) }[/math] — главный идеал, порождённый [math]\displaystyle{ b }[/math]. Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых [math]\displaystyle{ a,b }[/math] друг к другу и к [math]\displaystyle{ n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \binom{a}{b}=\binom{b}{a}\prod_{p|n,\infty}(a,b)_p }[/math]

Литература

• З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.
• К.Ивасава. Локальная теория полей классов. — М.:Мир, 1983.
• Hilbert, David (1897), Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Т. 4: 175–546, ISSN 0012-0456, <http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002115344> 
• Hilbert, David (1998), The theory of algebraic number fields, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, <https://books.google.com/books?id=_Q2h83Bm94cC> 
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, vol. 67, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2 
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, vol. 72, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press 
• Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory, vol. 322, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6 
• Serre, Jean-Pierre (1996), A Course in Arithmetic, vol. 7, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90040-5 
• Vostokov, S. V. & Fesenko, I. B. (2002), Local fields and their extensions, vol. 121, Translations of Mathematical Monographs, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, <http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/book/book.html> 

Ссылки

• [1] на encyclopediaofmath
• HilbertSymbol на Mathworld