Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] — пространство с мерой. Мера [math]\displaystyle{ \mu }[/math] называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F} }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ \mu(A_i) \lt \infty,\; i\in \mathbb{N} }[/math] и

[math]\displaystyle{ X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i }[/math].

Примеры

• Мера Лебега [math]\displaystyle{ m }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] σ-конечна, так как

[math]\displaystyle{ \mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i\lt \infty,\; i=1,2,\ldots }[/math].

• Счётная мера [math]\displaystyle{ \mu }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], то есть такая, что [math]\displaystyle{ \mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R} }[/math] не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.