Сферический сегмент

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности

Если радиус основания сегмента равен [math]\displaystyle{ a }[/math], высота сегмента равна [math]\displaystyle{ h }[/math], тогда объём шарового сегмента равен

[math]\displaystyle{ V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2), }[/math]

площадь поверхности сегмента равна

[math]\displaystyle{ A = 2 \pi r h }[/math]

или

[math]\displaystyle{ A=2 \pi r^2 (1-\cos \theta). }[/math]

Параметры [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ h }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] связаны соотношениями

[math]\displaystyle{ r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 +h^2 -2rh +a^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ r = \frac {a^2 + h^2}{2h}. }[/math]

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

[math]\displaystyle{ A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2). }[/math]

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) [math]\displaystyle{ h = r - \sqrt{r^2 - a^2}, }[/math] в нижней части сферы [math]\displaystyle{ h = r + \sqrt{r^2 - a^2}, }[/math] следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение [math]\displaystyle{ a = \sqrt{h(2r-h)} }[/math] и можно привести другое выражение для объёма:

[math]\displaystyle{ V = \frac {\pi h^2}{3} (3r-h). }[/math]

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

[math]\displaystyle{ V = \int_x^r \pi \left(r^2-x^2\right) dx = \pi \left(\frac{2}{3} r^3-r^2 x+\frac{1}{3} x^3\right) = \frac{\pi}{3} r^3 (\cos\theta + 2) (\cos\theta - 1)^2. }[/math]

Применение

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен

[math]\displaystyle{ V = V^{(1)}-V^{(2)} }[/math],

где

[math]\displaystyle{ V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3 }[/math]

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

[math]\displaystyle{ V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2) }[/math]

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению

[math]\displaystyle{ V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right). }[/math]

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна

[math]\displaystyle{ A=2 \pi r^2 |\sin \varphi_1 - \sin \varphi_2|. }[/math]

Площадь квадратного участка поверхности шара

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

[math]\displaystyle{ A=8 r^2 (1-\cos \theta/2). }[/math]

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении [math]\displaystyle{ \cos x \to 1 - x^2/2 }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to 0 : }[/math]

[math]\displaystyle{ A \approx 8 r^2 \frac{\theta^2}{8} = r^2 \theta^2. }[/math]

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

[math]\displaystyle{ A(1^\circ) = 8 \cdot R_\oplus^2 (1 - \cos 0{,}5^\circ) \approx R_\oplus^2\cdot \left(\frac{\pi}{180}\right)^2 \approx 12\,391 \,\text{км}^2. }[/math]

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

Обобщения

Сечения других тел

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы

Объём [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного сегмента гиперсферы высотой [math]\displaystyle{ h }[/math] и радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

[math]\displaystyle{ V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n t \,\mathrm{d}t , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] (гамма-функция) задаётся выражением [math]\displaystyle{ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t . }[/math]

Выражение для объёма [math]\displaystyle{ V }[/math] можно переписать в терминах объёма единичного [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного шара [math]\displaystyle{ C_{n}={\pi^{n/2}/\Gamma\left[1+\frac{n}{2}\right]} }[/math] и гипергеометрической функции [math]\displaystyle{ {}_{2}F_{1} }[/math] или регуляризованной неполной бета-функции [math]\displaystyle{ I_x(a,b) }[/math] как

[math]\displaystyle{ V = C_{n} \, r^{n} \left( \frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]} {\,\,}_{2}F_{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right) =\frac{1}{2}C_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right) . }[/math]

Формула для площади поверхности [math]\displaystyle{ A }[/math] может быть записана в терминах площади поверхности единичного [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного шара [math]\displaystyle{ A_{n}={2\pi^{n/2}/\Gamma\left[\frac{n}{2}\right]} }[/math] как

[math]\displaystyle{ A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ 0\le h\le r . }[/math]

Также справедливы следующие формулы: [math]\displaystyle{ A=A_n p_ { n-2 } (q),\quad V=V_n p_n (q) , }[/math] где [math]\displaystyle{ q= 1-h/r (0 \le q \le 1 ),\quad p_n (q) = \frac{1-G_n(q)/G_n(1)}{2} , }[/math]

[math]\displaystyle{ G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt . }[/math]

При [math]\displaystyle{ n=2k+1: }[/math]

[math]\displaystyle{ G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1}} {2i+1} . }[/math]

Было показано, что при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math] и [math]\displaystyle{ q\sqrt n = \text{const } }[/math] [math]\displaystyle{ p_n (q) \to 1- F({q \sqrt n}) , }[/math] где [math]\displaystyle{ F() }[/math] — стандартное нормальное распределение.

Литература

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.