Свободная энергия Франка — Озеена

Плотность свободной энергии Франка — Озеена (свободной энергии деформации жидкого кристалла) — величина, описывающая увеличение плотности свободной энергии жидкого кристалла, вызванное деформацией кристалла из конфигурации с однородным распределением поля директора.

Название дано в честь британского физика Фредерика Франка и шведского физика Карла Озеена, внёсших большой вклад в изучение жидких кристаллов.

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной энергии деформации нематического жидкого кристалла представляет меру увеличения плотности свободной энергии из-за отклонений ориентации директора от однородной. Следовательно, полную плотность свободной энергии можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{T}=\mathcal{F}_{0}+\mathcal{F}_{d} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{T} }[/math] — полная свободная энергия жидкого кристалла; [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{0} }[/math] — свободная энергия нематика с однородно распределённым полем директора; [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{d} }[/math] — свободная энергия деформаций.

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{d}=\frac{1}{2}K_1(\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot \operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_3(\mathbf{\hat{n}}\times\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2 }[/math]

Константы [math]\displaystyle{ K_i }[/math] называются постоянными Франка. Они, как правило, порядка [math]\displaystyle{ 10^{-6} }[/math] дин. Каждое из трёх слагаемых соответствует определённому типу деформации нематика: первое — поперечному изгибу, второе — кручению, третье — продольному изгибу. Комбинация этих слагаемых может использоваться для описания произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка являются величинами одного порядка, поэтому зачастую полагают [math]\displaystyle{ K_1=K_2=K_3=K }[/math]. Это приближение обычно называют одноконстантным, и его часто используют, так как оно значительно упрощает выражение для свободной энергии деформации:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{d}=\frac{1}{2}K((\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+(\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2)=\frac{1}{2}K\partial_{\alpha}n_{\beta}\partial_{\alpha}n_{\beta} }[/math]

К свободной энергии обычно добавляют четвёртое слагаемое, которое называется энергией седловидного изгиба и описывает поверхностное взаимодействие. Это слагаемое, впрочем, зачастую игнорируют при вычислении распределения поля директора, поскольку энергия, заключённая в объёме, гораздо больше энергии, связанной с поверхностными эффектами. Оно записывается в виде:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}K_{24}\nabla\cdot((\mathbf{\hat{n}}\cdot\nabla)\mathbf{\hat{n}}-\mathbf{\mathbf{\hat{n}}}(\nabla\cdot \mathbf{\hat{n}})) }[/math].

Холестерический жидкий кристалл

Для жидких кристаллов, состоящих из хиральных молекул, к плотности свободной энергии деформации добавляется дополнительное слагаемое. Оно меняет знак при изменении направления директора на обратное и даётся формулой:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{Ch}=k_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}}) }[/math]

Множитель [math]\displaystyle{ k_2 }[/math] не зависит от степени молекулярной хиральности. Поэтому для холестерического жидкого кристалла полная свободная энергия записывается в виде:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{T}=\mathcal{F}_{0}+\frac{1}{2}K_1(\operatorname{div}\mathbf{\hat{n}})^2+\frac{1}{2}K_2(\mathbf{\hat{n}}\cdot\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}}+q_0)^2+\frac{1}{2}K_3(\mathbf{\hat{n}}\times\operatorname{rot}\mathbf{\hat{n}})^2 }[/math],

где [math]\displaystyle{ q_0=2 \pi /P_0 }[/math], а [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] есть шаг холестерической спирали.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Статистическая физика. Ч. 1. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 616 с. — (Курс теоретической физики, т. V). — ISBN 978-5-9221-0054-0.
• Chaikin P. M., Lubensky T. C. . Principles of Condensed Matter Physics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995. — 699 p. — ISBN 0-521-43224-3.
• Chandrasekhar, Sivaramakrishna. . Liquid Crystals. 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — xv + 460 p. — ISBN 0-521-41747-3.
• de Gennes P. G., Prost J. . The Physics of Liquid Crystals. 2nd edition. — Oxford: Clarendon Press, 1995. — 616 p. — ISBN 0-19-851785-8.