Ряд Дайсона
Ряд Дайсона — ряд возмущений в теории рассеяния, каждый из членов которого можно изобразить в виде диаграммы Фейнмана. Ряд носит имя Фримена Дайсона и в целом расходится, однако, уже второй член этого ряда в квантовой электродинамике позволяет получить точность до 10−10 благодаря малости постоянной тонкой структуры.
Построение ряда Дайсона использует понятие временного упорядочения.
Система
Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:
- [math]\displaystyle{ \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} }[/math]
В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции [math]\displaystyle{ \hat{U}(t, t_0) }[/math] удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера
- [math]\displaystyle{ i\hbar \frac{\hat{U}(t, t_0)}{dt} = \hat{V}(t)\hat{U}(t, t_0) }[/math],
где
- [math]\displaystyle{ \hat{V}(t) = e^{i/\hbar \hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-i/\hbar \hat{H}_0 t}, }[/math]
или интегродифференциальному уравнению
- [math]\displaystyle{ \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1, t_0) dt_1 }[/math]
Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:
- [math]\displaystyle{ \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1) dt_1 + \frac{(-i)^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t \int_{t_0}^{t_1} \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) dt_1 dt_2 + \ldots }[/math]
Предложение Дайсона
Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] до [math]\displaystyle{ t }[/math], но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении [math]\displaystyle{ \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) }[/math], всегда было [math]\displaystyle{ t_1 \gt t_2 }[/math]. Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в [math]\displaystyle{ n! }[/math] раз.
В результате n-ный член ряда будет выглядеть:
- [math]\displaystyle{ \hat{U}_n=\frac{(-i)^n}{ n! \hbar^n}\int_{t_0}^t{dt_1\int_{t_0}^t{dt_2\cdots\int_{t_0}^t{dt_n\mathcal T\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n)}}}. }[/math],
где [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math] — оператор временного упорядочивания.
Как следствие, ряд Дайсона можно записать в компактном виде:
- [math]\displaystyle{ \hat{U}(t,t_0)=\sum_{n=0}^\infty \hat{U}_n(t,t_0)=\mathcal Te^{-i/\hbar \int_{t_0}^t{d\tau \hat{V}(\tau)}}. }[/math]
Источники
- А. Г. Ситенко. Лекции по теории рассеяния. — Вища школа, 1971. — 260 с.