Простое число Эйзенштейна

Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида 3n − 1. Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.

Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна:

[math]\displaystyle{ z = a + b\,\omega\qquad(\omega = e^{2\pi i/3}) }[/math],

являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец. Делителями простых чисел Эйзенштейна являются только обратимые элементы (±1, ±ω, ±ω²), a + bω и их произведения.

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

1. z является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида 3n − 1,
2. |z|² = a² − ab + b² является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1 по модулю 3).

Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым 3n − 1:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 (последовательность A003627 в OEIS).

Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

3 = −(1 + 2ω)²

7 = (3 + ω)(2 − ω).

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

По состоянию на 2017 год наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2^31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid.

Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

См. также

• Гауссовы целые числа