Приподнятый косинус (фильтр)
Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы ([math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math]) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси [math]\displaystyle{ f }[/math].
Математическое описание
ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр обладает нечётной симметрией относительно [math]\displaystyle{ \frac{1}{2T} }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] длительность символа в системе связи.
Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:
- [math]\displaystyle{ H(f) = \begin{cases} 1.0, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} \lt |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0 \leq \beta \leq 1 }[/math]
и характеризуется двумя величинами; [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — коэффициент сглаживания, и [math]\displaystyle{ T }[/math] — величина обратная символьной скорости.
Импульсный отклик фильтра описывается формулой:
- [math]\displaystyle{ h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}} }[/math], в выражении через нормализованные sinc функции.
Коэффициент сглаживания
Коэффициент сглаживания [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста [math]\displaystyle{ \frac{1}{2T} }[/math]. Если обозначить избыточность полосы через [math]\displaystyle{ \Delta f }[/math], то:
- [math]\displaystyle{ \beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f }[/math]
где [math]\displaystyle{ R_S = \frac{1}{T} }[/math] — символьная скорость.
На графике показана АЧХ при изменении [math]\displaystyle{ \beta }[/math] от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.
[math]\displaystyle{ \beta = 0 }[/math]
Как только [math]\displaystyle{ \beta }[/math] достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:
- [math]\displaystyle{ \lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT) }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathrm{rect}(.) }[/math] — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к [math]\displaystyle{ \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right) }[/math].
Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.
[math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math]
Когда [math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math], ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:
- [math]\displaystyle{ H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{matrix} \right. }[/math]
Полоса пропускания
Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:
- [math]\displaystyle{ BW = R_S(1+\beta) }[/math]
Применения
Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех [math]\displaystyle{ nT }[/math] (где [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое), кроме [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math].
Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.
Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:
- [math]\displaystyle{ H_R(f) = H_T^*(f) }[/math]
то есть:
- [math]\displaystyle{ |H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|} }[/math]
Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.
Литература
- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.