Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи — «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами — узлы), в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно и мощности также будут одинаковыми.

Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам.

Прямое преобразование

Рассмотрим приведенные выше схемы относительно выводов 1 и 2.

В схеме «треугольник» резистор [math]\displaystyle{ R_{12} }[/math] соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами [math]\displaystyle{ R_{13} }[/math] и [math]\displaystyle{ R_{23} }[/math], что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям [math]\displaystyle{ R_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ R_2 }[/math] в схеме «звезда». Отсюда следует, что:

[math]\displaystyle{ R_1+R_2=\frac{R_{12} \cdot(R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

Аналогично для других пар выводов:

[math]\displaystyle{ R_1+R_3=\frac{R_{13} \cdot(R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_2+R_3=\frac{R_{23} \cdot(R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений [math]\displaystyle{ R_1 }[/math], [math]\displaystyle{ R_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ R_3 }[/math] , получаем:

[math]\displaystyle{ R_{1}=\frac{R_{12} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{2}=\frac{R_{12} \cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{3}=\frac{R_{23} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}} }[/math]

Обратное преобразование

Решив исходную систему уравнений относительно сопротивлений [math]\displaystyle{ R_{12} }[/math], [math]\displaystyle{ R_{13} }[/math] и [math]\displaystyle{ R_{23} }[/math] получим формулы для обратного преобразования, из «звезды» в «треугольник»:

[math]\displaystyle{ R_{12}=R_{1}+R_{2}+\frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{13}=R_{1}+R_{3}+\frac{R_{1} \cdot R_{3}}{R_{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_{23}=R_{2}+R_{3}+\frac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{1}} }[/math]

Применение

Преобразование треугольник-звезда может быть полезным для расчёта сопротивления несбалансированного моста при [math]\displaystyle{ \frac{R_{1}}{R_{2}}\neq\frac{R_{4}}{R_{3}} }[/math].