Представление алгебры Ли
Представлением алгебры Ли (точнее, линейным представлением алгебры Ли) называется гомоморфизм из алгебры Ли [math]\displaystyle{ L }[/math] в полную линейную алгебру преобразований некоторого векторного пространства [math]\displaystyle{ V }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi\colon L\to \mathfrak{gl}(V) }[/math].
Под гомоморфизмом алгебр Ли подразумевается такое отображение, что [math]\displaystyle{ \varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)] }[/math] для любых [math]\displaystyle{ x,y\in L }[/math]. При этом алгебра Ли [math]\displaystyle{ L }[/math] и векторное пространство [math]\displaystyle{ V }[/math] должны быть над одним и тем же полем [math]\displaystyle{ K }[/math].
Примеры представлений алгебр Ли
Важным примером представления является присоединённое представление алгебры Ли [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}\colon L\to\mathfrak{gl}(L) }[/math]. Это представление сопоставляет элементу [math]\displaystyle{ x\in L }[/math] оператор [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}\;x }[/math], действующий на элементы из [math]\displaystyle{ L }[/math] по правилу [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}\;x(y)=[x,y] }[/math].
См. также
Литература
- Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003