Плотность множества
Пло́тность (измери́мого) мно́жества [math]\displaystyle{ E }[/math] на вещественной прямой [math]\displaystyle{ \R }[/math], в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] ― предел (если он существует) отношения
- [math]\displaystyle{ \lim_{|D|\to0}|E\cap D|/|D| }[/math]
где [math]\displaystyle{ D }[/math] ― произвольный отрезок, содержащий [math]\displaystyle{ x }[/math], а [math]\displaystyle{ |D| }[/math] ― его мера Лебега. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности [math]\displaystyle{ E }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].
Аналогично вводится плотность в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объёмами соответствующих [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда.
Для множеств из [math]\displaystyle{ \R }[/math] оказывается полезным понятие правой (левой) плотности [math]\displaystyle{ E }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math], которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки [math]\displaystyle{ D }[/math], имеющие левым (правым) концом точку [math]\displaystyle{ x }[/math].
Связанные определения
- Точка плотности — точка, в которой плотность равна единице.
- Почти все точки измеримого множества суть его точки плотности.
- Точка разрежения — точка, в которой плотность равна нулю.
См. также
Литература
- Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.