Параметры Стокса

Параметры Стокса — это набор величин, описывающих вектор поляризации электромагнитных волн, введенный в физику Дж. Стоксом в 1852 году. Параметры Стокса являют собой альтернативу описанию некогерентного или частично поляризованного излучения в терминах полной интенсивности, степени поляризации и формы эллипса поляризации.

Определение

Сфера Пуанкаре позволяет визуализировать параметры Стокса как проекции вектора [math]\displaystyle{ I }[/math] на координатные оси

Изображение поляризаций на сфере Пуанкаре

В случае плоской монохроматической волны параметры Стокса связаны с параметрами поляризационного эллипса следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{align} S_0 &= I = E_a^2 + E_b^2 \\ S_1 &= Q = I \cos 2\psi \cos 2\chi\\ S_2 &= U = I \sin 2\psi \cos 2\chi\\ S_3 &= V = I \sin 2\chi \end{align} }[/math]

Поляризационный эллипс

Здесь [math]\displaystyle{ E_a }[/math] и [math]\displaystyle{ E_b }[/math] — большая и малая полуоси поляризационного эллипса, [math]\displaystyle{ \psi }[/math]— угол поворота поляризационного эллипса относительно произвольной лабораторной системы координат — носит название азимута эллиптически-поляризованного излучения (или кратко — азимут), а угол [math]\displaystyle{ \chi }[/math], определяемый из условия отношения малой полуоси к большой [math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,{\chi} = E_b / E_a }[/math]— угол эллиптичности эллипса поляризации. Нетрудно заметить, что [math]\displaystyle{ S_1 }[/math], [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] являются проекциями [math]\displaystyle{ S_0 }[/math] на некие координатные оси. В итоге независимыми являются всего три параметра Стокса, поскольку:

[math]\displaystyle{ I^2 = Q^2 + U^2 + V^2 }[/math]

Параметры Стокса можно связать с величинами, непосредственно измеряемыми. Пусть [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ E_2 }[/math] — амплитуды изменения вектора [math]\displaystyle{ \vec{E} }[/math] в двух произвольных ортогональных направлениях, а [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — разность фаз колебаний в этих направлениях. Тогда:

[math]\displaystyle{ \begin{align} S_0 &= I = E_1^2 + E_2^2\\ S_1 &= Q = E_1^2 - E_2^2\\ S_2 &= U = 2E_1E_2\cos\delta\\ S_3 &= V = 2E_1E_2\sin\delta \end{align} }[/math]

Примечание: наряду с вариантами обозначений [math]\displaystyle{ S_0 }[/math], [math]\displaystyle{ S_1 }[/math], [math]\displaystyle{ S_2 }[/math], [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] или [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ Q }[/math], [math]\displaystyle{ U }[/math], [math]\displaystyle{ V }[/math] в некоторых научных традициях можно встретить обозначения параметров вектора [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] или [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ P_1 }[/math], [math]\displaystyle{ P_2 }[/math], [math]\displaystyle{ P_3 }[/math] или [math]\displaystyle{ S_1 }[/math], [math]\displaystyle{ S_2 }[/math], [math]\displaystyle{ S_3 }[/math], [math]\displaystyle{ S_4 }[/math].

Частные случаи

Выразим с помощью параметров Стокса линейную поляризацию. В этом случае разность фаз в любых ортогональных направлениях должна составлять [math]\displaystyle{ \delta = m\pi }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — целое число. Тогда получаем

[math]\displaystyle{ \begin{align} I &= E_1^2 + E_2^2 = E_a^2 + E_b^2\\ Q &= I \cos{2\chi}\cos{2\psi} = I \frac{1}{I}\sqrt{I^2 - (2E_1E_2)^2\sin^2\delta}\cos{2\psi} = I\cos{2\psi}\\ U &= I \cos{2\chi}\sin{2\psi} = I \frac{1}{I}\sqrt{I^2 - (2E_1E_2)^2\sin^2\delta}\sin{2\psi} = I\sin{2\psi}\\ V &= I \sin{2\chi} = I \frac{2E_1E_2}{I}\sin{\delta} = 0 \end{align} }[/math]

Предположим, что лабораторная ось отсчёта была выбрана горизонтально, как часто это и делается. Если [math]\displaystyle{ \psi = 0 }[/math], то мы получим горизонтальную линейную поляризацию, если [math]\displaystyle{ \psi = \pm\frac{\pi}{2} }[/math], то это будет вертикальная линейная поляризация.

В таблице приведены значения параметров Стокса для трех частных случаев

Поляризация	Параметры Стокса
	[math]\displaystyle{ I }[/math]	[math]\displaystyle{ Q }[/math]	[math]\displaystyle{ U }[/math]	[math]\displaystyle{ V }[/math]
Линейная	[math]\displaystyle{ I }[/math]	[math]\displaystyle{ I \cos{2\psi} }[/math]	[math]\displaystyle{ I \sin{2\psi} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
Правая круговая	[math]\displaystyle{ I }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ I }[/math]
Левая круговая	[math]\displaystyle{ I }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ -I }[/math]

Векторы Стокса

Часто четыре параметра Стокса объединяют в один четырёхмерный вектор, именуемый вектором Стокса:

[math]\displaystyle{ \vec S \ = \begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix} }[/math]

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного излучения. Для сравнения, вектор Джонса применим только для полностью поляризованного излучения, но более полезен для задач связанных с когерентным излучением.

Влияние оптической системы на поляризацию света падающего на неё излучения, заданного вектором Стокса, можно рассчитать с помощью преобразования Мюллера.

Примеры

Ниже приведены векторы Стокса для некоторых простых вариантов поляризации света.

Горизонтальная поляризация	Вертикальная поляризация	Линейная поляризация (+45°)	Линейная поляризация (−45°)
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} }[/math]
Левая круговая поляризация	Правая круговая поляризация
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} }[/math]
Неполяризованный свет
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }[/math]

Параметры Стокса для квазимонохроматического излучения

В квазимонохроматическом излучении присутствуют волны разных, хоть и близких частот. Пусть [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] — мгновенные амплитуды в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Тогда параметры Стокса задаются следующими выражениями:

[math]\displaystyle{ \begin{align} I &= \langle a_1^2 \rangle + \langle a_2^2 \rangle\\ Q &= \langle a_1^2 \rangle - \langle a_2^2 \rangle\\ U &= 2\langle a_1a_2\cos\delta \rangle\\ V &= 2\langle a_1a_2\sin\delta \rangle \end{align} }[/math]

Для определения параметров Стокса введем интенсивность колебаний [math]\displaystyle{ I(\theta, \epsilon) }[/math] в направлении, образующим угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math] с направлением осью Ox, когда их y-компонента запаздывает на величину [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] по отношению к x-компоненте. Тогда

[math]\displaystyle{ \begin{align} I &= I(0^{\circ}, 0) + I(90^{\circ}, 0)\\ Q &= I(0^{\circ}, 0) - I(90^{\circ}, 0)\\ U &= I(45^{\circ}, 0) - I(135^{\circ}, 0)\\ V &= I\left(45^{\circ}, \frac{\pi}{2}\right) - I\left(135^{\circ}, \frac{\pi}{2}\right) \end{align} }[/math]

В отличие от монохроматического излучения, в квазимонохроматическом случае параметры Стокса независимы и связаны неравенством

[math]\displaystyle{ I^2 \geqslant Q^2 + U^2 + V^2 }[/math]

Это неравенство можно объяснить, предположив, что квазимонохроматическое излучение состоит из полностью поляризованного и полностью неполяризованного излучения. На основе этого можно ввести степень поляризации:

[math]\displaystyle{ p = \frac{\sqrt{Q^2 + U^2 + V^2}}{I} }[/math]

Комплексное представление

Введем комплексную интенсивность линейно поляризованной волны

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} L & \equiv & |L|e^{i2\theta} \\ & \equiv & Q +iU. \\ \end{matrix} }[/math]

Можно показать, что при повороте [math]\displaystyle{ \theta \rightarrow \theta+\theta' }[/math] поляризационного эллипса величины [math]\displaystyle{ I }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] остаются неизменными, а величины [math]\displaystyle{ L }[/math], [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ U }[/math] меняются следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} L & \rightarrow & e^{i2\theta'}L, \\ Q & \rightarrow & \mbox{Re}\left(e^{i2\theta'}L\right), \\ U & \rightarrow & \mbox{Im}\left(e^{i2\theta'}L\right).\\ \end{matrix} }[/math]

Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно свести к трем обобщенным интенсивностям:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} I & \ge & 0, \\ V & \in & \mathbb{R}, \\ L & \in & \mathbb{C}, \\ \end{matrix} }[/math]

где [math]\displaystyle{ I }[/math] — полная интенсивность, [math]\displaystyle{ |V| }[/math] — интенсивность компоненты с круговой поляризацией, а [math]\displaystyle{ |L| }[/math] — интенсивность линейно поляризованной компоненты излучения. Полная интенсивность поляризованного излучения будет [math]\displaystyle{ I_p=\sqrt{|L|^2+|V|^2} }[/math], а ориентация и направление вращения определяются отношениями

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} \theta &=& \frac{1}{2}\arg(L), \\ h &=& \sgn(V). \\ \end{matrix} }[/math]

Так как [math]\displaystyle{ Q=\mbox{Re}(L) }[/math], а [math]\displaystyle{ U=\mbox{Im}(L) }[/math], то

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} |L| &=& \sqrt{Q^2+U^2}, \\ \theta &=& \frac{1}{2}\tan^{-1}(U/Q). \\ \end{matrix} }[/math]

См. также

• Поляризация волн

Литература

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster. Polarization and the Stokes Parameters (англ.) // Am. J. Phys. : journal. — 1954. — Vol. 22. — P. 351. — doi:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster. Matrix representation of polarization (англ.) // Rev. Mod. Phys. : journal. — 1961. — Vol. 8. — P. 33. — doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

Ссылки

• Stokes parameters and polarisation