Отражающая функция Мироненко

Отража́ющая фу́нкция — функция, связывающая прошлое состояние системы с её будущим состоянием в симметричный момент времени. Понятие отражающей функции введено Владимиром Ивановичем Мироненко.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ \varphi(t;t_0,x) }[/math] есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений [math]\displaystyle{ \dot x=X(t,x), }[/math] решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция этой системы определяется формулой [math]\displaystyle{ F(t,x)=\varphi(-t;t,x). }[/math]

Применение

Для [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math]-периодической по переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией [math]\displaystyle{ F(t,x) }[/math] отображение [math]\displaystyle{ \Pi(x) }[/math] за период [math]\displaystyle{ [-\omega;\omega] }[/math] (отображение Пуанкаре) находится по формуле [math]\displaystyle{ \Pi(x)=F(-\omega,x). }[/math] Поэтому знание отражающей функции позволяет находить начальные данные [math]\displaystyle{ (\omega,x_0) }[/math] для [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math]-периодических решений [math]\displaystyle{ \varphi(t;-\omega,x_0) }[/math] рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. Отражающая функция [math]\displaystyle{ F(t,x) }[/math] системы [math]\displaystyle{ \dot x=X(t,x) }[/math] удовлетворяет так называемому основному соотношению

[math]\displaystyle{ F_t+F_x X+X(-t,F)=0, }[/math] [math]\displaystyle{ F(0,x)=x. }[/math]

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение [math]\displaystyle{ \Pi(x) }[/math] за период [math]\displaystyle{ [-\omega;\omega] }[/math] может быть найдено даже через элементарные функции. В этом отражающая функция может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

Отражающая функция используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

См. также

• Отображение Пуанкаре

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Ссылки

• Сайт об отражающей функции Архивная копия от 2 марта 2022 на Wayback Machine
• How to construct equivalent differential systems Архивная копия от 19 августа 2011 на Wayback Machine