Равенство (математика)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	•	×	×	×	×	×	×	×	×	×
1	×	•	×	×	×	×	×	×	×	×
2	×	×	•	×	×	×	×	×	×	×
3	×	×	×	•	×	×	×	×	×	×
4	×	×	×	×	•	×	×	×	×	×
5	×	×	×	×	×	•	×	×	×	×
6	×	×	×	×	×	×	•	×	×	×
7	×	×	×	×	×	×	×	•	×	×
8	×	×	×	×	×	×	×	×	•	×
9	×	×	×	×	×	×	×	×	×	•
Равенство десятичных цифр как бинарное отношение: •истина, ×ложь

Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.

Определения равенства

Равенство является интуитивно очевидным отношением: значение двух выражений одно и то же. При его формальном определении возникает разнобой.

Теория множеств, по определению, считает два объекта (то есть, два множества) равными, если они состоят из одних и тех же элементов:

[math]\displaystyle{ A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B) }[/math]

В теориях с типизацией объектов отношение равенства имеет смысл лишь между элементами одного типа (попросту говоря, внутри определённого множества). Логицисты (сначала в логике предикатов Фреге, затем в рамках теории типов) опирались на определение равенства, похожее на теоретико-множественное, но рассматривающее отношения с другой стороны:

[math]\displaystyle{ x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y) }[/math]

То есть, для равенства двух объектов необходимо и достаточно, чтобы любой предикат, который может быть построен на данном типе, давал на них одинаковое логическое значение. Впрочем, не логицисты это определение придумали — оно было известно ещё Лейбницу.

Некоторые формальные теории уклоняются от определения равенства, считая его изначально заданным отношением эквивалентности.

Связанные определения

Формальное определение и интуитивное понимание равенства иногда конфликтуют. Равно ли (целое) число 1 (действительному) числу [math]\displaystyle{ e^0 }[/math]? С точки зрения интуиции — да, а с точки зрения теории типов вопрос неверно поставлен (ср. с проблемой приведения типов в программировании). В математике в подобных случаях подразумевается каноническое вложение одного множества (пространства, типа) в другое, большее. Вопрос о равенстве целого числа действительному можно понимать как равенство собственно действительного и другого действительного числа, соответствующего нашему целому. То есть, работа с интуитивно «очевидными» фактами типа всякое целое число является рациональным, а рациональное — действительным, требует в рамках некоторых формальных подходов специальных оговорок.

Уравнение — построенное при помощи равенства логическое высказывание, в которое входит переменная. Оно задаёт подмножество предметной области переменной — множество корней уравнения.

Определение величины или переменной записывается с помощью равенства: Пусть переменная равна выражению.

Тождество — высказывание, верное при любых значениях переменных. Оно часто (хотя вовсе не обязательно) строится на основе отношения равенства.

См. также