Однородно ускоренная система отсчёта
Однородно ускоренная система отсчета – система отсчета, в которой каждая точка движется с одинаковым постоянным ускорением в собственной системе отсчета, т.е. в системе, где эта точка неподвижна.
Если в ньютоновской механике описание однородно ускоренной системы не представляет трудностей, то релятивистское такой системы отсчета требует отказа от стереотипов бытового предоставления о движении. Кроме того, дополнительная трудность – специальная теория относительности может описать движение только в инерциальных системах отсчета. Поэтому ускорение (неподвижной) точки в собственной системе отсчета описывается с помощью символов Кристоффеля[1][math]\displaystyle{ {d^2x^i \over dt^2}= c^2\Gamma^i_{00}, }[/math]Следовательно, в однородно ускоренной системе или в однородном гравитационном поле все [math]\displaystyle{ \Gamma^i_{00}=const }[/math].
История
Первая успешная попытка была сделана в 1907, в знаменитой работе А. Эйнштейна[2]. Здесь Эйнштейн предложил принцип эквивалентности, который стал мощным инструментом релятивистской теории гравитации – общей тории относительности. Здесь же получен первый результат будущей теории – доказано, что в ускоренной системе темп хода часов зависит не только от скорости, но и от потенциала поля [math]\displaystyle{ \phi }[/math] (инерции или гравитации). Для нулевой скорости:[math]\displaystyle{ d\tau=dt\Bigl(1 +{gx\over c^2}\Bigr)=dt\Bigl(1 +{\phi\over c^2}\Bigr) }[/math]Причем, результат верен только в пределе малых потенциалов. В той же статье Эйнштейна[2] для однородной системы отсчета получена точное выражение. «Из того, что выбор начала координат не должен влиять на это соотношение, можно заключить, что оно должно быть заменено точным соотношением»[2]:
[math]\displaystyle{ d\tau=dte^{gx/c^2}. }[/math]Эйнштейн, дав исчерпывающие ответы на вопрос о том как меняется время в ускоренной системе, поставил вопрос как меняется форма тела в ускоренных системах. Ответ тогда не был дан. Исчерпывающий ответ был получен в 1963 г. Гарри Лассом (Harry Lass)[3].
Однородно ускоренная система отсчета, ее метрика
Ласс решил одномерную задачу однородно ускоренной системы, используя принцип постоянства скорости света.
Ласс рассмотрел систему отсчета [math]\displaystyle{ O'XYZ }[/math], ускоряющуюся вдоль оси [math]\displaystyle{ x }[/math] относительно инерциальной системы координат [math]\displaystyle{ Oxyz }[/math]. Далее, постулировав, что [math]\displaystyle{ dX/dT=\pm c }[/math], и [math]\displaystyle{ dx/dt=\pm c }[/math] (координатная скорость света инвариант), получил преобразование[math]\displaystyle{ x =\frac{c^2}{g}\left [ e^{gX/c^2} \cosh\frac{gT}{c}-1 \right ] }[/math]и[math]\displaystyle{ t=\frac{c}{g} e^{gX/c^2} \sinh\frac{gT}{c}. }[/math]Важно, что метрика системы Ласса [math]\displaystyle{ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=e^{2gX/c^2}[c^2dT^2-dX^2]-dY^2-dZ^2=g_{\alpha\beta}(X)dX^{\alpha}dX^{\beta} }[/math]удовлетворяет вакуумному уравнению Эйнштейна, т.е. [math]\displaystyle{ R_{ik}=0 }[/math].
Система отсчета Ласса напоминает систему Меллера (C. Møller)[4] (1943), которая известна так же под названием системы Риндлера (W. Rindler)[5]. В тех же координатах система Меллера[math]\displaystyle{ x =\frac{c^2}{g}\left [\left (1+\frac{gX}{c^2}\right) \cosh\frac{gT}{c}-1 \right ] }[/math]и[math]\displaystyle{ x =\frac{c^2}{g}\left (1+\frac{gX}{c^2}\right) \sinh\frac{gT}{c}. }[/math]
В то время как система Ласса однородна и для нее верно [math]\displaystyle{ \Gamma^i_{00}=g/c^2 }[/math]для системы Меллера это равенство выполняется лишь приближенно.
Примечания
- ↑ Сажин М В Общая теория относительности для астрономов. URL: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Архивная копия от 20 июля 2018 на Wayback Machine, п. 8.2.1.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. Jahrb. d. Radioaktivitat u. Elektronik, 4, 411—462 (1907). Перевод. Эйнштейн А О принципе относительности и его следствиях, Собрание научных трудов. Т.1. (М.; Наука, 1965) с. 65
- ↑ Lass, H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox, American Journal of Physics, Vol. 31, pp. 274-276, 1963.
- ↑ Μоеllег С. On Homogeneous Gravitational Fields in the General Theory of Relativity and the Clock Paradox. Kobenhavn, 1943. (Труды Датской АН, 2, № 19.).
- ↑ Rindler W. Relativity: Special, General, and Cosmologica. 2nd Edition. Oxford University Press. (2006).
![]() | На эту статью не ссылаются другие статьи Руниверсалис. |