Обобщённый интеграл энергии

Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит.

Формулировка

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_{m}} =0 }[/math]

имеют обобщённый интеграл энергии:

[math]\displaystyle{ h = \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} - L }[/math]

Вывод

Рассмотрим голономную систему, имеющую [math]\displaystyle{ s }[/math] степеней свободы, с функцией Лагранжа

[math]\displaystyle{ L=L(q_{m}, \dot{q}_{m}, t) }[/math],

зависящей от обобщённых координат [math]\displaystyle{ q_{m} }[/math], обобщённых скоростей [math]\displaystyle{ \dot{q}_{m} }[/math] и времени [math]\displaystyle{ t }[/math], здесь и ниже всюду [math]\displaystyle{ m=1, 2, ..., s }[/math].

Дифференцируя по времени функцию [math]\displaystyle{ L(q_{m}, \dot{q}_{m}, t) }[/math], получаем

[math]\displaystyle{ \frac{dL}{dt}=\sum_{m=1}^{s}\left ( \frac{\partial L}{\partial q_{m}} \dot{q}_{m} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \ddot{q}_{m} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} }[/math].

Из уравнений Лагранжа

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_{m}} =0 }[/math]

следует, что

[math]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial q_{m}} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) }[/math].

Тогда получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial q_{m}} \dot{q}_{m} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \ddot{q}_{m} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) \dot{q}_{m} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \ddot{q}_{m} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} \right ) }[/math].

Пользуясь этим, имеем:

[math]\displaystyle{ \frac{dL}{dt}=\sum_{m=1}^{s}\left ( \frac{\partial L}{\partial q_{m}} \dot{q}_{m} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \ddot{q}_{m} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{dt} \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} + \frac{\partial L}{\partial t} }[/math]

Или:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left ( \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} - L \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} = 0 }[/math].

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то [math]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial t} = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left ( \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} - L \right ) = 0 }[/math]

Из этого следует:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^{s} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m}} \dot{q}_{m} - L = h }[/math]

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби.

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.