Обобщённая схема размещения

Обобщённая схема размещения частиц по ячейкам определяется следующим образом.

Определение

Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины (с.в.) [math]\displaystyle{ \eta_1,\dots,\eta_N }[/math], сумма которых равна [math]\displaystyle{ n }[/math], связаны с неотрицательными целочисленными независимыми с.в. [math]\displaystyle{ \xi_1,\dots,\xi_N }[/math] следующим соотношением:

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+\xi_N=n\}\qquad(1) }[/math]

для всех целых неотрицательных [math]\displaystyle{ k_1,\dots,k_N }[/math], сумма которых равна [math]\displaystyle{ n }[/math]. Тогда говорят, что с.в. [math]\displaystyle{ \eta_1,\dots,\eta_N,\xi_1,\dots,\xi_N }[/math] образуют обобщённую схему размещения (ОСР).

Если ОСР симметрична, то есть все с.в. [math]\displaystyle{ \xi_k }[/math] имеют одинаковое распределение, то вероятность, стоящую справа в (1), можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2) }[/math]

где [math]\displaystyle{ p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots }[/math]

Виды схем

Каноническая схема размещения

Наиболее распространенным случаем ОСР является каноническая схема размещения, для которой

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n}b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3) }[/math]

где [math]\displaystyle{ b_0,b_1,\dots }[/math] — последовательность неотрицательных чисел такая, что [math]\displaystyle{ b_0\gt 0 }[/math], радиус сходимости ряда [math]\displaystyle{ B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k }[/math] равен 1, максимальный шаг носителя последовательности [math]\displaystyle{ b_0,b_1,\dots }[/math] равен 1.

К канонической схеме путём линейного преобразования с.в. [math]\displaystyle{ \eta_1,\dots,\eta_N }[/math] сводятся все схемы вида (3) без указанных выше ограничений на последовательность [math]\displaystyle{ \{b_k\} }[/math] с одним только условием — конечного и ненулевого радиуса сходимости [math]\displaystyle{ B(x) }[/math]. Схема (3), очевидно, является частным случаем (2) и, следовательно, (1).

Классическая схема размещения

Классическая схема размещения (схема равновероятного размещения частиц по ячейкам), в которой

[math]\displaystyle{ \mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n}, }[/math]

не сводится к канонической, так как радиус сходимости [math]\displaystyle{ B(x)=e^x }[/math] равен бесконечности. Но она является частным случаем (2) (и, следовательно, (1)).

Применение

Схемы размещения вида (1), (2) и (3) является удобным средством изучения таких случайных объектов, как леса Гальтона-Ватсона, случайные подстановки, рекурсивные леса и т. д.

См. также

• Гигантская компонента