Гигантская компонента

Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.

Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:

[math]\displaystyle{ \eta_1+\dots+\eta_N=n,\qquad(1) }[/math]

Обозначим через [math]\displaystyle{ \eta_{(1)}\leq\dots\leq\eta_{(N)} }[/math] вариационный ряд случайных величин [math]\displaystyle{ \eta_1,\dots,\eta_N }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ \;\eta_{(N)} }[/math] — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а [math]\displaystyle{ \;\eta_{(N-1)} }[/math] — следующая по величине компонента.

Если при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] случайная величина [math]\displaystyle{ \;\eta_{(N)}/n }[/math] имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а [math]\displaystyle{ \;\eta_{(N-1)}/n }[/math] вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.

Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] так, что [math]\displaystyle{ \ln(n)/N\to\infty }[/math], то есть при условии, что параметр [math]\displaystyle{ N }[/math] растет медленнее, чем [math]\displaystyle{ \ln(n) }[/math].