Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди, посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах.

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части.

Пусть [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3\dots }[/math] — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math] имеет место неравенство: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right )^p \lt \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p. }[/math]

Константа справа [math]\displaystyle{ \left (\frac{p}{p-1}\right )^p }[/math] является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться.

Интегральная версия

Если [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — неотрицательная интегрируемая функция, то: [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\leqslant\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx. }[/math]

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] почти всюду равна нулю.

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения .

Литература

• Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
• Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства = Inequalities. — М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
• Харди неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 772—773.
• Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type (неопр.). — World Scientific Publishing, 2003. — ISBN 981-238-195-3.
• Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 CS1 maint: Uses editors parameter (link) Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 .

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4