Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

Для любых точек [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] плоскости выполнено неравенство

[math]\displaystyle{ AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD, }[/math]

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ ABCD }[/math] — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] лежат на одной прямой.

Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке [math]\displaystyle{ A }[/math]; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ D }[/math].^[1]
Существует способ доказательства через прямую Симсона.
Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку [math]\displaystyle{ E }[/math] такую, что [math]\displaystyle{ \angle ABE=\angle DBC }[/math], а потом через подобие треугольников.
Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Теорема Помпею.^[2] Рассмотрим точку [math]\displaystyle{ X }[/math] и правильный треугольник [math]\displaystyle{ ABC }[/math]. Тогда из отрезков [math]\displaystyle{ XA }[/math], [math]\displaystyle{ XB }[/math] и [math]\displaystyle{ XC }[/math] можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка [math]\displaystyle{ X }[/math] лежит на описанной окружности треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math].

Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Соотношение Бретшнайдера
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots A_6 }[/math] произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)^[3]), то

[math]\displaystyle{ A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6 + }[/math]

[math]\displaystyle{ +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5A_6+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6, }[/math]

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ A_1\dots A_6 }[/math] — вписанный шестиугольник.

Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности [math]\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta }[/math], касающиеся данной окружности в вершинах [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] и [math]\displaystyle{ D }[/math] выпуклого четырёхугольника [math]\displaystyle{ ABCD }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ t_{\alpha\beta} }[/math] — длина общей касательной к окружностям [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); [math]\displaystyle{ t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta} }[/math] и т. д. определяются аналогично. Тогда

[math]\displaystyle{ t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta} }[/math].

↑ Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии Архивная копия от 26 мая 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
↑ О теореме Д. Помпейю Архивная копия от 17 декабря 2004 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
↑ Теорема Птолемея (неопр.). Дата обращения: 17 мая 2011. Архивировано 26 мая 2009 года.
↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея), Journal of Graph Theory Т. 5 (3): 323–331, DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0.