Неравенство Крафта — Макмиллана

В теории кодирования, неравенство Крафта — Макмиллана даёт необходимое и достаточное условие существования разделимых и префиксных кодов, обладающих заданным набором длин кодовых слов.

Предварительные определения

Пусть заданы два произвольных конечных множества, которые называются, соответственно, кодируемым алфавитом и кодирующим алфавитом. Их элементы называются символами, а строки (последовательности конечной длины) символов — словами. Длина слова — это число символов, из которого оно состоит.

В качестве кодирующего алфавита часто рассматривается множество [math]\displaystyle{ \{0, 1\} }[/math] — так называемый двоичный или бинарный алфавит.

Схемой алфавитного кодирования (или просто (алфавитным) кодом) называется любое отображение символов кодируемого алфавита в слова кодирующего алфавита, которые называют кодовыми словами. Пользуясь схемой кодирования, каждому слову кодируемого алфавита можно сопоставить его код — конкатенацию кодовых слов, соответствующих каждому символу этого слова.

Код называется разделимым (или однозначно декодируемым), если никаким двум словам кодируемого алфавита не может быть сопоставлен один и тот же код.

Префиксным кодом называется алфавитный код, в котором ни одно из кодовых слов не является префиксом никакого другого кодового слова. Любой префиксный код является разделимым.

Формулировка

Теорема Макмиллана (1956). Пусть заданы кодируемый и кодирующий алфавиты, состоящие из [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] символов, соответственно, и заданы желаемые длины кодовых слов: [math]\displaystyle{ \ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_n }[/math]. Тогда необходимым и достаточным условием существования разделимого и префиксного кодов, обладающих заданным набором длин кодовых слов, является выполнение неравенства: [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n d^{\,-\ell_i} \leqslant 1. }[/math]

Это неравенство и известно под названием неравенства Крафта — Макмиллана. Впервые оно было выведено Леоном Крафтом в своей магистерской дипломной работе в 1949 году, однако он рассматривал только префиксные коды, поэтому при обсуждении префиксных кодов это неравенство часто называют просто неравенством Крафта. В 1956 году Броквэй Макмиллан доказал необходимость и достаточность этого неравенства для более общего класса кодов — разделимых кодов.

Пример

Двоичные деревья

Пример двоичного дерева. Его листья -- вершины с номерами 9, 14, 19, 67 и 76, находятся на глубинах 3, 3, 3, 3 и 2, соответственно.

Любое укоренённое двоичное дерево можно рассматривать как графическое описание префиксного кода над двоичным алфавитом: символы кодируемого алфавита соответствуют листьям дерева, а путь в дереве от корня до листа задаёт его код (путь состоит из последовательности движений «влево» и «вправо», которые соответствуют символам 0 и 1).

Для таких деревьев неравенство Крафта — Макмиллана утверждает, что:

[math]\displaystyle{ \sum_{x \in \mathcal{L}} 2^{-\mathrm{depth}(x)} \leqslant 1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] — множество листьев дерева, а [math]\displaystyle{ \mathrm{depth}(x) }[/math] — глубина листа [math]\displaystyle{ x }[/math], число рёбер на пути от корня до [math]\displaystyle{ x }[/math].

Для дерева на рисунке справа имеем:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{4} + 4 \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{3}{4} \leqslant 1. }[/math]

Литература

• Гашков, С. Б. Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — 52 с. — ISBN 5-94057-146-8.
• Cover, T. M., Thomas, J. A. Elements of information theory. — 2006. — P. 116. — ISBN 0-471-24195-4.

Ссылки

• Kraft’s inequality (NIST) Архивная копия от 27 января 2009 на Wayback Machine
• http://www.codingtheory.gorodok.net/seminars/seminar%2010.pdf Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine