Надбарьерное отражение
Надбарье́рное отраже́ние — термин, употребляемый в квантовой механике для описания невозможного в классической физике явления отражения движущейся частицы от потенциального барьера, максимальная высота которого [math]\displaystyle{ U_{max} }[/math] меньше полной энергии частицы [math]\displaystyle{ E }[/math]. Коэффициент отражения определяется формой барьера (в одномерном случае [math]\displaystyle{ U(x) }[/math]), а также энергией и массой частицы. При этом коэффициент прохождения оказывается меньше единицы. Аналогичный эффект имеет место при прохождении частицы над потенциальной ступенькой или квантовой ямой.
Подход к рассмотрению
Независимо от профиля потенциала [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] движение частицы рассматривается с использованием стационарного уравнения Шрёдингера. Принимается, что частица движется слева направо (вдоль оси [math]\displaystyle{ x }[/math]), потенциал на большом расстоянии слева от барьера равен нулю, а справа [math]\displaystyle{ V_0 }[/math] (возможно, [math]\displaystyle{ V_0 }[/math] тоже равно нулю). В таком случае волновые функции слева и справа от барьера представляют собой плоские волны вида:
- [math]\displaystyle{ \psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,\, }[/math] (далеко слева),
- [math]\displaystyle{ \psi_2(x)=te^{ik_2x}\,\, }[/math] (далеко справа).
- [math]\displaystyle{ k_1=\sqrt{\frac{2m_1E}{\hbar^2}} }[/math] и [math]\displaystyle{ k_2=\sqrt{\frac{2m_2(E-V_0)}{\hbar^2}} }[/math] — модули волновых векторов.
Масса [math]\displaystyle{ m }[/math], вообще говоря, может различаться по областям, почему её символ и снабжён дополнительным индексом; [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка.
Если профиль [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] содержит резкие скачки, то на всех границах должно выполняться условие «сшивки» волновой функции [math]\displaystyle{ \psi }[/math] и токов вероятности; последнее требует обеспечения непрерывности величины [math]\displaystyle{ \psi^'/m }[/math].
В процессе решения уравнения Шрёдингера определяются неизвестные константы [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math], с использованием которых далее находятся коэффициенты отражения и прохождения:
- [math]\displaystyle{ R=|r|^2,\qquad T=\frac{k_2m_1}{m_2k_1}|t|^2 }[/math].
Ниже представлены результаты такого рассмотрения для нескольких систем.
Примеры
Скачок потенциальной энергии
Задача о переходе частицы, без изменения её массы, в область с другой потенциальной энергией [math]\displaystyle{ V_0 = V }[/math], имеет следующее решение:
- [math]\displaystyle{ r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},\qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2} }[/math].
Коэффициенты отражения и прохождения составляют
- [math]\displaystyle{ R=\left(\frac{1-\sqrt{1-V/E}}{1+\sqrt{1-V/E}}\right)^2,\quad T=\frac{4\sqrt{1-V/E}}{\left(1+\sqrt{1-V/E}\right)^2} }[/math].
Коэффициент отражения имеет конечное значение, но при стремлении [math]\displaystyle{ E }[/math] к бесконечности он стремится к нулю.
Прямоугольный потенциальный барьер
В случае прямоугольного барьера потенциал по обе его стороны нулевой (и [math]\displaystyle{ V_0 = 0 }[/math]). Условия сшивки действуют на двух границах: при [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ x=a }[/math]. Волновые векторы слева-справа и в барьере составляют
- [math]\displaystyle{ k_1 = k_2 =\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},\qquad k_b = \sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}} }[/math].
Результат для коэффициентов отражения и прохождения:
- [math]\displaystyle{ R = 1 - T,\qquad T=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2-k_b^2)^2}{4k_1^2k_b^2}\sin^2{k_ba}} }[/math].
При [math]\displaystyle{ E \gt V }[/math] коэффициент отражения в общем случае отличен от нуля. Но при определённых энергиях [math]\displaystyle{ E }[/math] становится [math]\displaystyle{ R = 0 }[/math] из-за обнуления синуса.
Изменение эффективной массы
В данном случае коэффициенты [math]\displaystyle{ r }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math] рассчитываются по формулам:
- [math]\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}},\qquad t=\frac{2\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}} }[/math].
Соответственно, коэффициенты отражения и прохождения составят
- [math]\displaystyle{ R=\left(\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}\right)^2,\qquad T=\frac{4\sqrt{m_1m_2}}{\left(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}\right)^2} }[/math].
При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.
Бесконечная квантовая яма
Дельтообразная квантовая яма — это потенциал вида [math]\displaystyle{ U(x) = \lambda/m\cdot\delta(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \lambda = \mbox{const} \lt 0 }[/math].
Примечание: при наличии [math]\displaystyle{ \delta }[/math]-функциональных особенностей потенциала несколько изменяются условия сшивки производных, вытекающие из требования непрерывности тока, см. конкретнее.
Коэффициенты отражения и прохождения для такой ямы составляют
- [math]\displaystyle{ R=|r|^2= \frac{1}{1+\frac{2m\hbar^2 E}{\lambda^2}},\qquad T=|t|^2= \frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2 E}} }[/math].
Получается, что отражение частицы возможно при её надъямном движении с любой энергией [math]\displaystyle{ E }[/math], хотя при повышении энергии вероятность отражения снижается.
Практическая релевантность
Все типы структур, представленные выше, встречаются или могут быть созданы на практике. В технологии полупроводниковых гетероструктур есть возможность получения многослойных систем с различными материалами. Поскольку возможности варьирования комбинаций материалов достаточно широки, вполне реально получение желаемых высот барьеров (от долей эВ до нескольких эВ) и величин эффективной массы. Соответственно, роль профиля потенциала [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] будет играть профиль зоны проводимости [math]\displaystyle{ E_c(x) }[/math].