Монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейное топологическое пространство, [math]\displaystyle{ u, v }[/math] — произвольные элементы [math]\displaystyle{ u, v \in X }[/math]. Обозначим [math]\displaystyle{ \langle u, v \rangle }[/math] скалярное произведение элементов [math]\displaystyle{ u, v }[/math], [math]\displaystyle{ \| . \| }[/math] — норма в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Оператор [math]\displaystyle{ A \in ( X \to X*) }[/math] называется:

• монотонным, если [math]\displaystyle{ \langle Au- Av, u-v \rangle \geqslant 0 }[/math];
• строго монотонным, если [math]\displaystyle{ \langle Au- Av, u-v \rangle \gt 0 }[/math] для [math]\displaystyle{ u \neq v }[/math];
• d - монотонным, если [math]\displaystyle{ \langle Au- Av, u-v \rangle \geqslant (\alpha ( \| u \| ) - \alpha ( \| v \| ))( \| u \| - \| v \| ) }[/math] для некоторой строго возрастающей функции [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ 0, \infty \right ) }[/math];
• равномерно монотонным, если [math]\displaystyle{ \langle Au - Av, u - v \rangle \geqslant \rho ( \| u - v \| ) }[/math] для некоторой строго возрастающей функции [math]\displaystyle{ \rho }[/math] на [math]\displaystyle{ \left [ 0, \infty \right ) }[/math] с [math]\displaystyle{ \rho(0)=0 }[/math];
• сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если [math]\displaystyle{ \langle Au - Av, u - v \rangle \geqslant m \| u - v \|^{2} }[/math], [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math].
• радиально непрерывным, если при любых фиксированных [math]\displaystyle{ u, v \in X }[/math] вещественная функция [math]\displaystyle{ s \to \langle A(u + sv), v \rangle }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ \left [0 ,1 \right ] }[/math].
• коэрцитивным, если существует определённая на [math]\displaystyle{ \left [ 0, \infty \right ) }[/math] вещественная функция [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] с [math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} = + \infty }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ \langle Au, u \rangle \geqslant \gamma ( \| u \| ) \| u \| }[/math]

Основная теорема теории монотонных операторов

Пусть [math]\displaystyle{ A \in ( X \to X* ) }[/math] — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения [math]\displaystyle{ A u = f }[/math] при любом [math]\displaystyle{ f \in X* }[/math] непусто, слабо замкнуто и выпукло.

Литература

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
• Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.