Объёмный модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости (модуль объёмного или всестороннего сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление величиной 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20 000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa»).

Определение

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

[math]\displaystyle{ K=-V\frac{d p}{d V}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] — давление, а [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия.

Можно показать, что в случае изотропного тела модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга [math]\displaystyle{ E }[/math], коэффициент Пуассона [math]\displaystyle{ \nu }[/math], модуль сдвига [math]\displaystyle{ G }[/math], первый параметр Ламэ [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

[math]\displaystyle{ K = \frac{E}{3(1-2\nu)}. }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \frac{EG}{3(3G-E)}. }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \frac{E + 3\lambda + \sqrt{E^2+9\lambda^2+2E\lambda}}{6}. }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \frac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}. }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \frac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}. }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \lambda+\frac{2G}{3}. }[/math]

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический [math]\displaystyle{ K_T }[/math]), при постоянной энтропии (адиабатический [math]\displaystyle{ K_S }[/math]) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа [math]\displaystyle{ p = \frac {\mathrm{const}}{V} }[/math] следует:

[math]\displaystyle{ K_T=P\, . }[/math]

Используя уравнение адиабаты [math]\displaystyle{ p \, \cdot V^\gamma = \mathrm{const}, }[/math] можно получить

[math]\displaystyle{ K_S=\gamma P, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K и плотность ρ определяют скорость звука c (волны давления), согласно формуле Ньютона-Лапласа

[math]\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}. }[/math]

Измерение

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции, акустополяризационного метода (для твердых сред).

Некоторые значения

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

Материал	Объёмный модуль упругости в ГПа	Объёмный модуль упругости в фунт-силе на квадратный дюйм
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	от 35 до 55	5,8⋅103
Сталь	160	23⋅103
Алмаз	442	64⋅103

Влияние некоторых примесей, добавляемых в стекло, на его объёмный модуль упругости

Приблизительный значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Вода	2,2⋅109 Па (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух	1,42⋅105 Па (Адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух	1,01⋅105 Па (объёмный модуль упругости при постоянной температуре)
Твёрдый гелий	5⋅107 Па (приблизительно)