Модуль автоморфизма
 | Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. |
Модуль автоморфизма — вещественное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму, локально компактной группы.
Если [math]\displaystyle{ G }[/math] — такая группа и [math]\displaystyle{ A }[/math] — некоторый автоморфизм группы [math]\displaystyle{ G }[/math] как топологической группы, то модуль автоморфизма а определяется формулой
- [math]\displaystyle{ mod(A)=\mu A(S)/\mu S }[/math]?, где [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — левоинвариантная мера Хаара на группе [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ S }[/math] — любое компактное подмножество группы [math]\displaystyle{ G }[/math] положительной меры (причем [math]\displaystyle{ mod(A) }[/math] не зависит от выбора [math]\displaystyle{ S }[/math]).
Если [math]\displaystyle{ G }[/math] компактна или дискретна, то всегда [math]\displaystyle{ mod(A)= 1 }[/math], так как для компактной группы можно положить [math]\displaystyle{ S=G }[/math], а для дискретной [math]\displaystyle{ S = a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — любой элемент [math]\displaystyle{ G }[/math].
Если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ A' }[/math] — два автоморфизма группы G, то
- [math]\displaystyle{ mod (A\circ A)= mod(A) mod(A'). }[/math]
Если [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — некоторая топологическая группа, которая непрерывно действует на группе [math]\displaystyle{ G }[/math] автоморфизмами, то [math]\displaystyle{ mod }[/math] определяет непрерывный гомоморфизм [math]\displaystyle{ mod:\Gamma\to \R_+ }[/math] где [math]\displaystyle{ \R_+ }[/math] — мультипликативная группа вещественных положительных чисел.
В частности, сопоставляя каждому элементу [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] порождаемый им внутренний автоморфизм группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм [math]\displaystyle{ G }[/math] в группу [math]\displaystyle{ \R_+ }[/math]. Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе [math]\displaystyle{ G }[/math] является одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, называются унимодулярными.
Литература
- James E. Humphreys Arithmetic Groups, Lecture Notes in Mathematics 789, Springer Verlag 1980, p. 2.