Модель мультипликатора-акселератора

Модель мультипликатора-акселератора (модель Самуэльсона-Хикса) — динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием мультипликатора инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций) и акселератора (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).

Описание модели

Модель потребительских расходов:

[math]\displaystyle{ C_t=a_c+b_C Y_{t-1} }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_C\gt 0 }[/math] — автономное потребление; [math]\displaystyle{ b_C }[/math]-склонность к потреблению, [math]\displaystyle{ 0\lt b_C\lt 1 }[/math].

Модель инвестиций:

[math]\displaystyle{ I_t=a_I+b_I(Y_{t-1}-Y_{t-2}) }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_I }[/math] — автономные инвестиции, [math]\displaystyle{ b_I }[/math] — акселератор, определяющий индуцированные инвестиции.

Модель государственных расходов и чистого экспорта

[math]\displaystyle{ G_t+NX_t=a_{GNX}=const }[/math]

Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):

[math]\displaystyle{ Y_t=C_t+I_t+G_t+NX_t }[/math]

Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:

[math]\displaystyle{ Y_t=a_C+a_I+a_{GNX}+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2}=a+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_IY_{t-2} }[/math]

В стационарном состоянии [math]\displaystyle{ Y_t=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^* }[/math], поэтому

[math]\displaystyle{ Y^*=\frac {a}{1-b_C} }[/math]

Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня [math]\displaystyle{ \Delta Y=Y-Y^* }[/math]. Тогда подставив [math]\displaystyle{ Y=Y^*+\Delta Y }[/math] в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:

[math]\displaystyle{ \Delta Y_t =(b_C+b_I)\Delta Y_{t-1}-b_I \Delta Y_{t-2} }[/math]

Это однородное конечно-разностное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:

[math]\displaystyle{ \lambda^2 -(b_C+b_I)\lambda+b_I=0 }[/math]

Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень [math]\displaystyle{ \lambda=\sqrt{b_I} }[/math] решение конечно-разностного уравнения имеет вид:

[math]\displaystyle{ \Delta Y_t=\alpha \lambda^t+\beta t \lambda^t }[/math]

В противном случае решение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \Delta Y_t=\alpha \lambda_1^t+\beta \lambda_2^t }[/math]

В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы).

В случае комплексных корней — они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны [math]\displaystyle{ \lambda=\rho e^{\pm i \omega} }[/math] ([math]\displaystyle{ \rho=\sqrt{b_I} }[/math]), то [math]\displaystyle{ \lambda^t=\rho^t e^{\pm i \omega t}=\rho^t (\cos \omega t \pm i \sin \omega t) }[/math]. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:

[math]\displaystyle{ \Delta Y_t=b^{t/2}_I(\alpha_0 \cos \omega t+\beta_0 \sin \omega t) }[/math]

Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.