Модель Ходжкина — Хаксли
Модель Ходжкина — Хаксли — математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах. Подобные модели были созданы впоследствии и для других электрически возбуждаемых клеток — например, для сердечных миоцитов; все модели такого рода описывают автоволновые процессы в активных средах. Точечная модель Ходжкина — Хаксли представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая, в частности, пригодна и для описания характеристик электрического сигнала.
Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара[1]. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.
Основные компоненты
Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость ([math]\displaystyle{ C_m }[/math]). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость ([math]\displaystyle{ G_n }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — отдельный вид ионных каналов) — это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость ([math]\displaystyle{ G_L }[/math], где индекс [math]\displaystyle{ L }[/math] означает англ. leak — «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой ([math]\displaystyle{ E_n }[/math] и [math]\displaystyle{ E_L }[/math]), величина которой определяется реверсивным потенциалом для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока ([math]\displaystyle{ I_p }[/math]).
Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны ([math]\displaystyle{ \dot{V}_m }[/math]) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:
- [math]\displaystyle{ \dot{V}_m=-\frac{1}{C_m}\left(\sum\limits_i I_i\right), }[/math]
где [math]\displaystyle{ I_i }[/math] означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.
Характеристики ионного тока
Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:
- [math]\displaystyle{ I_i(V_m,\;t)=(V_m-E_i)g_i, }[/math]
где [math]\displaystyle{ E_i }[/math] — равновесный потенциал [math]\displaystyle{ i }[/math]-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость [math]\displaystyle{ g_i }[/math] является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — [math]\displaystyle{ g_n(t,\;V) }[/math] на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной ([math]\displaystyle{ g_L }[/math] на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин.
Потенциал-зависимые ионные каналы
В терминах модели Ходжкина — Хаксли [math]\displaystyle{ g_n(t,\;V) }[/math], проводимость потенциал-зависимых каналов, описывается следующим образом:
- [math]\displaystyle{ g_n(V_m,\;t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dot{\varphi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\varphi}(\varphi_\infty-\varphi); }[/math]
- [math]\displaystyle{ \dot{\chi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\chi}(\chi_\infty-\chi), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi }[/math] являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимально возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. [math]\displaystyle{ \bar{g}_n }[/math] является максимальным возможным значением проводимости. [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — константы, [math]\displaystyle{ \tau_\varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau_\chi }[/math] — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. [math]\displaystyle{ \varphi_\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi_\infty }[/math] является стабилизированными значениями [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi }[/math] при величине времени, стремящейся к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функции [math]\displaystyle{ V_m }[/math].
Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная Марквардтом[2] . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (англ. voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейным дифференциальным уравнениям следующего вида:
- [math]\displaystyle{ \varphi(t)=\varphi_0-\left[(\varphi_0-\varphi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\varphi})\right]; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \chi(t)=\chi_0-\left[(\chi_0-\chi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\chi})\right]. }[/math]
Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала [math]\displaystyle{ V_m }[/math], величина электрического тока описывается следующим уравнением:
- [math]\displaystyle{ I_n(t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta(V_m-E_n). }[/math]
Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется алгоритм Левенберга — Марквардта[3][4].
Пассивные каналы
Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости [math]\displaystyle{ g_i }[/math] ([math]\displaystyle{ g_i=\mathrm{const} }[/math]).
Ионные транспортёры
Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортёров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са2+ внутрь клетки в обмен на три иона Na+, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na+ наружу в обмен на один ион К+ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl−)[5][6].
Модификации и альтернативные модели
Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:
- Основываясь на экспериментальных данных, в неё были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортёров.
- Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).
Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.
См. также
Литература
- ↑ Hodgkin, A., and Huxley, A. (1952): A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 117:500—544.
- ↑ Marquardt, D. (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM J. Appl. Math. 11 (2):431—441.
- ↑ Levenberg, K. (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. Q. Appl. Math. 2 (2):164—168.
- ↑ Johnston, D., and Wu, S. (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 6. MIT Press, Cambridge, MA. — ISBN 0-262-10053-3.
- ↑ Hille, B. (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes. — (3rd ed.). — Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. — ISBN 0-87893-321-2
- ↑ Encyclopedia of Neuroscience. — 3rd edition. — Elsevier Science, 2004. — ISBN 0-444-51432-5
Ссылки
- Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
- Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли для численного решения дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
- Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo.
- Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant Axon Of Loligo.
- Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant Axon Of Loligo.
- Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
- Neural Impulses: The Action Potential In Action. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.