Модель Бруно — Фишера
Модель Бруно — Фишера — модель зависимости инфляции, бюджетного дефицита и способов его финансирования, предложенная в 1987 году. Модель основана на определённой зависимости удельного (на единицу реального дохода) реального спроса на деньги от одного фактора — ожидаемой инфляции, на адаптивных инфляционных ожиданиях. В упрощённой версии модели предполагается, что весь дефицит бюджета финансируется за счет эмиссии. В более сложной версии допускается как эмиссионное финансирование дефицита, так и через заимствование.
История возникновения
В 1987 году М. Бруно[англ.] и С. Фишер предложили в своей работе «Сеньораж, операционные правила, и ловушка высокой инфляции»[1] модель инфляции[2].
Упрощённая модель (эмиссионное финансирование бюджетного дефицита)
Модель спроса на деньги
В данной модели применяется функция спроса на деньги, аналогичная модели Кейгана, однако она используется для удельного спроса на деньги [math]\displaystyle{ (\frac {M}{PY})^D }[/math][2]:
- [math]\displaystyle{ \ln (\frac {M}{PY})^D=-\alpha \pi^e }[/math],
где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — положительный параметр; [math]\displaystyle{ \pi^e }[/math] — ожидаемая инфляция.
С учётом условия равновесия на денежном рынке удельный спрос на деньги должен быть равен удельному предложению, то есть если [math]\displaystyle{ M }[/math] — номинальная денежная масса, [math]\displaystyle{ P }[/math] — уровень цен, [math]\displaystyle{ Y }[/math] — реальный ВВП, то вместо модели спроса используется следующее равновесное условие[2]:
- [math]\displaystyle{ \ln M - \ln P - \ln Y=-\alpha \pi^e }[/math],
или, дифференцируя по времени (точкой сверху обозначены производные по времени):
- [math]\displaystyle{ m-\pi-y=-\alpha \dot{\pi}^e }[/math],
где [math]\displaystyle{ m=\dot{M}/M }[/math] — темп роста денежной массы; [math]\displaystyle{ \pi=\dot {P}/P }[/math] — фактическая инфляция; [math]\displaystyle{ y=\dot{Y}/Y }[/math] — темп роста ВВП.
Модель инфляционных ожиданий
Инфляционные ожидания предполагаются адаптивными, то есть формируются следующим образом[2]:
- [math]\displaystyle{ \dot{\pi}^e=\beta(\pi-\pi^e) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — положительный параметр, характеризующий скорость адаптации ожиданий к фактической инфляции при фиксации последней.
Отсюда можно выразить фактическую инфляцию и если подставить это в полученную выше модель и записать следующую модель инфляционных ожиданий:
- [math]\displaystyle{ \dot {\pi}^e=\lambda (m-y-\pi^e), \lambda=\beta/(1-\alpha \beta) }[/math].
Отсюда, можно вывести, в частности, условие равновесия — постоянства инфляционных ожиданий (то есть [math]\displaystyle{ \dot {\pi}^e=0 }[/math], а значит, учитывая адаптивность инфляционных ожиданий — [math]\displaystyle{ \pi^e=\pi }[/math], то есть постоянство инфляционных ожиданий эквивалентно совпадению ожидаемой и фактической инфляции):
- [math]\displaystyle{ \pi^e=m-y }[/math].
Модель финансирования бюджетного дефицита
Обозначим через [math]\displaystyle{ d }[/math] долю дефицита бюджета в номинальном ВВП. Тогда [math]\displaystyle{ d \cdot P \cdot Y }[/math] — номинальный дефицит в единицу времени.
Предполагается, что дефицит бюджета полностью финансируется за счет денежной эмиссии, то есть номинальный дефицит равен скорости изменения денежной массы[2]:
- [math]\displaystyle{ \dot{M}=d \cdot P \cdot Y }[/math]
или:
- [math]\displaystyle{ m \frac {M}{PY}=d }[/math]
Учитывая модель спроса на деньги и условие денежного равновесия отсюда можно записать как должен зависеть темп роста денежной массы от инфляционных ожиданий и уровня дефицита:
- [math]\displaystyle{ m=de^{\alpha \pi^e} }[/math]
В таком случае получаем следующую модель для равновесных инфляционных ожиданий:
- [math]\displaystyle{ \pi^e=de^{\alpha \pi^e}-y }[/math]
Если бюджетный дефицит (в долях от ВВП) намного больше темпа экономического роста, то экономика может не прийти в равновесие. Если же он меньше экономического роста, то существует единственная равновесная инфляция. В случае небольшого превышения дефицита над темпом экономического роста возможны два равновесных уровня инфляции. При этом можно показать, что если [math]\displaystyle{ \alpha\beta \lt 1 }[/math] стационарный режим с меньшей инфляцией является устойчивым, а с большей — неустойчивым равновесием. В противном случае — наоборот.
Расширенная модель (смешанное финансирование бюджетного дефицита)
Модель финансирования дефицита
В рамках данной модели дефицит бюджета финансируется как за счет денежной эмиссии, так и за счет заимствований. То есть реальный дефицит [math]\displaystyle{ d \cdot Y }[/math] покрывается как за счет реальной эмиссии [math]\displaystyle{ \dot {M}/P }[/math], так и за счет роста реального государственного долга [math]\displaystyle{ B }[/math] в единицу времени — [math]\displaystyle{ \dot {B} }[/math]. При этом государственный долг является платным, то есть нужно учесть также и проценты по нему в размере [math]\displaystyle{ r \cdot B }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — реальная процентная ставка. Таким образом[2]:
- [math]\displaystyle{ d \cdot Y =\dot {M}/P+\dot{B}-r\cdot B }[/math],
или в удельном представлении:
- [math]\displaystyle{ d+rb =m l+\dot{b}+y b }[/math],
где [math]\displaystyle{ b=B/Y }[/math] — удельный государственный долг; [math]\displaystyle{ l=\frac {M} {PY} }[/math] — удельная реальная денежная масса; [math]\displaystyle{ m=\dot{M}/M }[/math] — темп роста денежной массы; [math]\displaystyle{ y }[/math] — темп роста реального дохода [math]\displaystyle{ Y }[/math].
Предполагается, что экономический рост является экзогенным и определяется только ростом населения, то есть [math]\displaystyle{ y=n }[/math] — темп роста населения. Таким образом, можно записать:
- [math]\displaystyle{ d+(r-n)b=m \cdot l+\dot{b} }[/math].
В равновесных условиях [math]\displaystyle{ \dot{b}=0 }[/math], поэтому:
- [math]\displaystyle{ d+(r-n)b=m \cdot l }[/math].
Модель спроса на деньги
Появление государственных облигаций позволяет экономическим агентам хранить средства не только в деньгах, но и в этих облигациях, то есть суммарные средства экономических агентов в реальном выражении равны [math]\displaystyle{ B+M/P }[/math]. Если обозначить долю этих реальных средств в реальных доходах через [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \gamma=b+l }[/math] и подставить [math]\displaystyle{ b=\gamma-l }[/math] в равновесную модель финансирования дефицита, то[2]:
- [math]\displaystyle{ d+(r-n)\gamma= (r-n+m)l }[/math]
В равновесных условиях темп роста денежной массы должен покрывать экономический рост (рост населения) и инфляцию, то есть [math]\displaystyle{ m=n+\pi }[/math], поэтому можно записать:
- [math]\displaystyle{ d+(r-n)\gamma= (r+\pi)l }[/math].
Хранение денег имеет альтернативную стоимость не только в виде ожидаемой инфляции, но и в виде стоимости альтернативного вложения в облигации (реальной ставки процента), поэтому функцию удельного реального спроса на деньги в данном случае можно представить как:
- [math]\displaystyle{ l=l^d=\gamma e^{-\alpha (r+\pi^e)}=\gamma e^{-\alpha i} }[/math],
где [math]\displaystyle{ i }[/math] — номинальная ставка.
В равновесных условиях инфляционные ожидания совпадают с фактической инфляцией.
Модель товарного рынка
В данной модели кроме равновесия на денежном рынке необходимо рассмотреть и равновесие на товарном рынке (тождество дохода) [math]\displaystyle{ Y=C+G }[/math] или в удельном выражении [math]\displaystyle{ c+g=1 }[/math], где [math]\displaystyle{ C, G }[/math]- соответственно потребительские и государственные расходы, [math]\displaystyle{ c,g }[/math] — их удельные величины (доля в [math]\displaystyle{ Y }[/math])[2].
Предполагается, что потребительские расходы прямо зависят от суммарных средств экономических агентов (удельная величина [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) и обратно зависят от реальной процентной ставки (степенная зависимость с некоторым параметром [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — эластичностью по процентной ставке). Кроме этого потребительские расходы линейно зависят от налогов [math]\displaystyle{ T }[/math] (удельная величина — ставка налогов [math]\displaystyle{ t }[/math] — не путать со временем) — с некоторым коэффициентом пропорциональности [math]\displaystyle{ a }[/math]. Таким образом, модель для удельных потребительских расходов имеет вид:
- [math]\displaystyle{ c=\gamma r^{-\lambda}-a t }[/math]
Тогда тождество дохода будет иметь вид:
- [math]\displaystyle{ \gamma r^{-\lambda}-a t+g=1 }[/math].
Отсюда можно получить:
- [math]\displaystyle{ \gamma=(1-g+a t)r^{\lambda} }[/math].
Зависимость в дифференциальной форме можно представить следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \gamma'_r=\lambda \gamma/r }[/math].
См. также
Примечания
- ↑ Bruno M.[англ.], Fischer S. Seigniorage, operating rules, and the high inflation trap // NBERWorking Paper No. 2413. — October 1987.
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 Туманова Е.А., Шагас Н.Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: Инфра-М, 2004. — С. 159-169. — ISBN 5-16-001864-6.