Множество Витали

Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега. Этот пример, ставший классическим, описал итальянский математик Джузеппе Витали в 1905 году. Доказательство неизмеримости множества Витали по Лебегу использует аксиому выбора. Если вместо аксиомы выбора принять аксиому детерминированности, то множество Витали становится измеримым.

История

В 1904 году Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры, которая позволяет ввести функцию меры (обобщения понятия «длины» отрезка или «объёма» многомерных фигур) на большем количестве множества, чем мера Жордана. В частности, в одномерном случае у множества рациональных чисел на отрезке [ 0; 1 ] мера Лебега существует и равна 0, в то время как мера Жордана этого множества не существует. Лебег задался вопросом, будет ли введённая им конструкция применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел, и предположил, что всякое такое множество измеримо. Открытие множества Витали в 1905 году показало, что это не так. Сам Лебег посчитал, что множество, предложенное Витали, не может служить примером неизмеримого множества в силу неконструктивности его построения.

Помимо множества Витали впоследствии были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора. Таким образом, проблема существования или несуществования неизмеримых множеств сводится к основаниям математики в плане выбора того или иного набора аксиом теории множеств.

Построение

Множество Витали [math]\displaystyle{ V }[/math] строится как подмножество отрезка [math]\displaystyle{ [0,\;1] }[/math] согласно следующей процедуре. Сначала вводится отношение эквивалентности [math]\displaystyle{ \sim }[/math] на множестве вещественных чисел: два числа [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] считаются эквивалентными, если их разность [math]\displaystyle{ (x-y) }[/math] — рациональное число. Тогда все рациональные числа попадают в один класс эквивалентности, а иррациональные числа, разность которых не является рациональным числом, в разные классы эквивалентности. Такое отношение эквивалентности разбивает все вещественные числа на классы эквивалентности, каждый из которых имеет счётную мощность, так как множество рациональных чисел счётно. При этом классы не пересекаются, и множество этих классов имеет мощность континуума.

Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — точке из отрезка [math]\displaystyle{ [0,\;1] }[/math]. Это можно сделать, если используется аксиома выбора теории множеств, которая утверждает, что это можно сделать, но не даёт конструктивного способа получить элементы множества. Построенное множество [math]\displaystyle{ V }[/math] имеет мощность континуума и называется множеством Витали.

Покажем, что множество Витали не измеримо по Лебегу.

Действительно, если сдвинуть [math]\displaystyle{ V }[/math] счётное число раз на все рациональные числа из интервала [math]\displaystyle{ [ 0,1 ] }[/math], то объединение полученных множеств будет содержать весь отрезок [math]\displaystyle{ [0,1], }[/math] но при этом само оно будет содержаться в отрезке [math]\displaystyle{ [ 0, 2 ] }[/math]. «Сдвинутые копии» множества [math]\displaystyle{ V }[/math] не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения отношения эквивалентности [math]\displaystyle{ \sim }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math].

Предположим, что [math]\displaystyle{ V }[/math] измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта.

• Мера V равна нулю. Тогда мера интервала [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
• Мера V больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера промежутка [math]\displaystyle{ [ 0, 2 ] }[/math], в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие.

Литература

• Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97—112.
• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6..
• Ященко И. В. Парадоксы теории множеств. Серия «Библиотека „Математическое просвещение“», выпуск 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8