Метод фазовых функций

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта [math]\displaystyle{ R=0 }[/math] принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке [math]\displaystyle{ r }[/math] равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math].

Фазовая и амплитудная функции

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале [math]\displaystyle{ V(r) }[/math]. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции [math]\displaystyle{ u_{l}(r) }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{d^{2}}{dr^{2}}u_{l}(r) + \Bigl[k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2}-V(r)\Bigr]u_{l}(r)=0 }[/math] (1).

Здесь [math]\displaystyle{ k^2 }[/math] — значение энергии частицы, [math]\displaystyle{ l }[/math] — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

[math]\displaystyle{ u_{l}(r) \approx C [j_{l}(kr)-\tan\delta_{l}n_{l}(kr)] }[/math]

или

[math]\displaystyle{ u_{l}(r) \rightarrow C sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_{l}), r \rightarrow \infty }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ j_{l}(kr) }[/math] и [math]\displaystyle{ n_{l}(kr) }[/math] — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию [math]\displaystyle{ \delta_{l}(r) }[/math] и амплитудную функцию [math]\displaystyle{ A_{l}(r) }[/math], исходя из двух условий:

[math]\displaystyle{ u_{l}(r)=A_l(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)] }[/math] (2)

и

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dr}u_l(r)=A_l(r)[\cos\delta_l(r)\frac{d}{dr}j_l(kr)-\sin\delta_l(r)\frac{d}{dr}n_l(kr)] }[/math] (3).

Второе условие равносильно

[math]\displaystyle{ \frac{dA_{l}}{dr}[\cos\delta_{l}j_{l}-\sin\delta_{l}n_{l}]-\frac{d\delta_{l}}{dr}A_{l}[\sin\delta_{l}j_{l}+\cos\delta_{l}n_{l}]=0 }[/math].

Продифференцировав уравнение [math]\displaystyle{ (3) }[/math], подставим выражение для второй производной [math]\displaystyle{ u_l }[/math] вместе с уравнением [math]\displaystyle{ (2) }[/math] в уравнение Шредингера [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Получим уравнение для фазовой функции [math]\displaystyle{ \delta_l(r) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dr}\delta_l(r)=-\frac{1}{k}V(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)]^2 }[/math] (4)

и начальное условие:

[math]\displaystyle{ \delta_l(0)=0 }[/math] (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dr}A_l(r)=-\frac{1}{k}A_l(r)V(r)[\cos\delta_l(r)j_l(kr)-\sin\delta_l(r)n_l(kr)][\sin\delta_l(r)j_l(kr)+\cos\delta_l(r)n_l(kr)] }[/math] (5).

Фазовое уравнение [math]\displaystyle{ (4) }[/math] отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.

Литература

• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 287.
• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
• Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
• Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — М.: Мир, 1972. — С. 292.