Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод непосредственного применения правил Кирхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум правилам Кирхгофа и последующем их решении.

Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа и К = (В — У + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (то есть содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам/контурам).

Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений можно воспользоваться матричной формой

[math]\displaystyle{ AI = BE }[/math],

где

[math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B;

[math]\displaystyle{ I }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

[math]\displaystyle{ I = A^{-1}BE = GE }[/math],

[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]	[math]\displaystyle{ =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1B} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{B1} & a_{B2} & \cdots & a_{BB} \end{bmatrix}^{-1}= }[/math]
	[math]\displaystyle{ =\frac {1}{\Delta} \begin{bmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \cdots & \Delta_{1B} \\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{B1} & \Delta_{B2} & \cdots & \Delta_{BB} \end{bmatrix}^{T}= }[/math]
	[math]\displaystyle{ =\frac {1}{\Delta} \begin{bmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \cdots & \Delta_{B1} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{B2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{1B} & \Delta_{2B} & \cdots & \Delta_{BB} \end{bmatrix} }[/math]

— обратная матрица; [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — определитель матрицы A; [math]\displaystyle{ \Delta_{ik} }[/math] — алгебраические дополнения элементов [math]\displaystyle{ a_{ik} }[/math] (см. способы нахождения обратной матрицы).

[math]\displaystyle{ G = A^{-1}B = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} & \cdots & g_{1B} \\ g_{21} & g_{22} & \cdots & g_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{B1} & g_{B2} & \cdots & g_{BB} \end{bmatrix} }[/math]

— матрица собственных [math]\displaystyle{ g_{ii} }[/math] и взаимных [math]\displaystyle{ g_{ik} }[/math] проводимостей (см. метод наложения).

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} I_1 = g_{11}E_1 + g_{12}E_2 + \cdots + g_{1B}E_B; \\ I_2 = g_{21}E_1 + g_{22}E_2 + \cdots + g_{2B}E_B; \\ \vdots \\ I_B = g_{B1}E_1 + g_{B2}E_2 + \cdots + g_{BB}E_B; \end{matrix}\right. }[/math]

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

Пример использования метода

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, то есть К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей [math]\displaystyle{ I_1 }[/math], [math]\displaystyle{ I_2 }[/math], [math]\displaystyle{ I_3 }[/math] (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

[math]\displaystyle{ - I_1 - I_2 + I_3 = 0 }[/math],

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например, для контуров 1 и 2

[math]\displaystyle{ r_1I_1 + r_3I_3 = E_1 + E_2 }[/math];

[math]\displaystyle{ r_2I_2 + r_3I_3 = E_2 + E_3 }[/math].

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} Y - 1 & \left\{~\right. \\ K & \left\{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}\right. \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ r_1 & 0 & r_3 \\ 0 & r_2 & r_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} = AI = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = BE }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ r_1 & 0 & r_3 \\ 0 & r_2 & r_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = }[/math]
	[math]\displaystyle{ = \frac{1}{-(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)} \begin{bmatrix} -r_2r_3 & -r_1r_3 & r_1r_2 \\ -(r_2 + r_3) & r_3 & -r_2 \\ r_3 & -(r_1 + r_3) & -r_1 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = }[/math]
	[math]\displaystyle{ = \frac{1}{r^2} \begin{bmatrix} r_2r_3 & r_2 + r_3 & -r_3 \\ r_1r_3 & -r_3 & r_1 + r_3 \\ -r_1r_2 & r_2 & r_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = }[/math]
	[math]\displaystyle{ = \frac{1}{r^2} \begin{bmatrix} r_2 + r_3 & -r_3 & r_2 \\ -r_3 & r_1 + r_3 & r_1 \\ r_2 & r_1 & r_1 + r_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = [G][E]. }[/math]

Теперь составим систему уравнений токов:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} I_1 = g_{11}E_1 + g_{12}E_2 + g_{13}E_3; \\ I_2 = g_{21}E_1 + g_{22}E_2 + g_{23}E_3; \\ I_3 = g_{31}E_1 + g_{32}E_2 + g_{33}E_3, \end{matrix}\right. }[/math]

где

[math]\displaystyle{ g_{11} = (r_2 + r_3)/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ g_{22} = (r_1 + r_3)/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ g_{33} = (r_1 + r_2)/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ g_{12} = g_{21} = -r_3/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ g_{13} = g_{31} = r_2/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ g_{23} = g_{32} = r_1/r^2 }[/math];

[math]\displaystyle{ r = \sqrt{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3} }[/math].

Расчёт цепей с источниками тока

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В — В[math]\displaystyle{ _J }[/math] — У + 1), где В[math]\displaystyle{ _J }[/math] — число ветвей с источниками тока.

Литература

Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6