Метод Чаплыгина

Ме́тод Чаплы́гина (также известен как метод двухсторонних приближений) — метод приближённого решения дифференциальных уравнений с заданной степенью точности, который был предложен С. А. Чаплыгиным и основывается на теореме Чаплыгина. Метод предназначен для решения задачи Коши для системы ОДУ первого порядка (либо для одного ОДУ порядка выше первого) и состоит в построении двух семейств барьерных решений, последовательно приближающихся к точному решению системы.

Описание метода

Основная идея

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:

[math]\displaystyle{ y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0 }[/math].

Тогда требуется найти две функции [math]\displaystyle{ z=z(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ u=u(x) }[/math], равные искомому интегралу в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству [math]\displaystyle{ u\lt y\lt z }[/math]. Можно сказать, что функции [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ u }[/math] совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A — [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]), внутри которого проходит функция [math]\displaystyle{ y(x) }[/math], причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.

Алгоритм (для уравнения первого порядка)

Требуется решить уравнение [math]\displaystyle{ y'-f(x,y)=0 }[/math], причём функция [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] удовлетворяет условию Липшица.

1. Найдём две функции [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ u_0 }[/math] такие, что в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале [math]\displaystyle{ (x_0,b] }[/math] выполняется:
   [math]\displaystyle{ u_0'-f(x,u_0)\lt 0 }[/math];
   [math]\displaystyle{ z_0'-f(x,z_0)\gt 0 }[/math].
   Эти функции будем считать первым приближением решения.
2. Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение [math]\displaystyle{ z_i }[/math] и [math]\displaystyle{ u_i }[/math], тогда следующим приближением будут функции:
   [math]\displaystyle{ h(x)=u_i'(x)-f(x,u_i(x)) }[/math];
   [math]\displaystyle{ u_{i+1}(x)=u_i(x)-\int_{x_0}^{x}{e^{-L(x-t)}h(t)dt} }[/math];
   [math]\displaystyle{ g(x)=z_i'(x)-f(x,z_i(x)) }[/math];
   [math]\displaystyle{ z_{i+1}(x)=z_i(x)-\int_{x_0}^{x}{e^{-L(x-t)}g(t)dt} }[/math].
   Здесь L — константа Липшица для функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math].
   
   Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] по [math]\displaystyle{ y }[/math] в области [math]\displaystyle{ (x,y) \in ([x_0,b],[u_i(x),z_i(x)]) }[/math], то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности [math]\displaystyle{ \Phi(x,y) }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi(x,y) }[/math], одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] с [math]\displaystyle{ u_i(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ z_i(x) }[/math] при фиксированном [math]\displaystyle{ x }[/math], а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём [math]\displaystyle{ \Phi(x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant\phi(x,y) }[/math]. Тогда функции [math]\displaystyle{ z_{i+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ u_{i+1} }[/math] могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
   [math]\displaystyle{ z_{i+1}'=\Phi(x,z_{i+1}) }[/math]; [math]\displaystyle{ u_{i+1}'=\phi(x,u_{i+1}) }[/math]

Сходимость

Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n, [math]\displaystyle{ z_n - u_n \leqslant C/{2^{2^n}} }[/math].

Литература

• Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / Под ред. В. К. Гольцмана. — Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — Т. 2. — С. 260-277.