Матрица расстояний

Матрица расстояний — это квадратная матрица типа «объект-объект» (порядка n), содержащая в качестве элементов расстояния между объектами в метрическом пространстве.

Свойства

Свойства матрицы являются отражением свойств самих расстояний:

1. симметричность относительно диагонали, то есть [math]\displaystyle{ d_{ij} = d_{ji} }[/math];
2. отражение свойства тождественности расстояния [math]\displaystyle{ d_{ij}=0 \Leftrightarrow i = j }[/math] в матрице расстояний проявляется в наличии 0 по диагонали матрицы, так как расстояние объекта с самим собой очевидно равно 0, а также в наличии нулевых значений для абсолютно сходных объектов;
3. значения расстояний в матрице всегда неотрицательны [math]\displaystyle{ d_{ij}\geqslant 0 }[/math]
4. неравенство треугольника принимает форму [math]\displaystyle{ d_{ij}+d_{jk}\geqslant d_{ik} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ j }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math].

В общем виде матрица выглядит так:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & d_{1j} & \cdots & d_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{i1} & \cdots & d_{ij} & \cdots & d_{in} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{n1} & \cdots & d_{nj} & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} }[/math]

В широком смысле расстояния являются отражением такого понятия как различие, что двойственно понятию сходства, а элементы матрицы различия (в общем виде — матрицы дивергенций) двойственны элементам матрицы сходства (в общем виде — матрицы конвергенций). Связь между мерой сходства и мерой различия можно записать как [math]\displaystyle{ F = 1 - K }[/math], где F — мера различия; K — мера сходства. Следовательно, все свойства мер сходства можно экстраполировать на соответствующие им меры различия с помощью простого преобразования и наоборот.
Визуально отношения между объектами можно представить с помощью графовых алгоритмов кластеризации. Можно сказать, что расстояния используются намного чаще, чем меры сходства: их чаще реализуют в статистических программах (Statistica, SPSS и др.) в модуле кластерного анализа.

Расстояния

Известно, что существует обобщённая мера расстояний, предложенная Германом Минковским:

[math]\displaystyle{ d_{ij} = \left[ \sum_{k=1}^n \left| x_{ik} - x_{jk} \right|^p \right]^\frac{1}{p}. }[/math]

В вышеуказанное семейство расстояний входит:

• при p = 1 — «манхэттенское расстояние» («расстояние городских кварталов», англ. city-block), или «[math]\displaystyle{ l }[/math]-норма». Обобщённая мера Хэмминга в теоретико-множественной записи (после нормировки) может быть представлена как [math]\displaystyle{ d_{ij} = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B) }[/math] и являться двойственной мере абсолютного сходства.
• при p = 2 — расстояние Евклида. Часто используется и квадрат этого расстояния.
• при p → ∞ — sup-метрика, или метрика «доминирования». Также известна как расстояние Чебышёва.

Существуют используемые расстояния и вне данного семейства. Наиболее известным является расстояние Махаланобиса.

Также интересно в качестве удачной иллюстрации связи мер сходства и различия расстояние Юрцева, двойственное мере сходства Браун-Бланке:

[math]\displaystyle{ F_\text{Yu} = 1 - K_\text{B-B} = 1 - \frac{n(A \cap B)}{\max\big(n(A), n(B)\big)} = \frac{n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)+ |n(A) - n(B)|}{n(A) + n(B) - |n(A) - n(B)|}. }[/math]

Пример

На плоскости расположено шесть различных точек (см. изображение). В качестве метрики выбрано расстояние Евклида в пикселях.

Точки на плоскости

Соответствующая матрица расстояний будет равна

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0

Полученную матрицу можно изобразить в виде тепловой карты. Здесь более тёмный цвет соответствует меньшему расстоянию между точками.

Матрица расстояний в виде тепловой карты