Аргументы максимизации и минимизации

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, [math]\displaystyle{ \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) }[/math] — есть значение [math]\displaystyle{ x }[/math], при котором [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов .

[math]\displaystyle{ \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\} }[/math]

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: [math]\displaystyle{ x_0 = \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \Leftrightarrow \max f(x) = f(x_0) }[/math]

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума.

[math]\displaystyle{ \underset{x}{\operatorname{argmin}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \ge f(x)\} }[/math]

Примеры

• [math]\displaystyle{ \underset{x\in \mathbb{R}}{\operatorname{argmax}} (x(10-x)) = 5 }[/math], так как максимум функции, равный 25, достигается при [math]\displaystyle{ x=5 }[/math].
• [math]\displaystyle{ \underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{argmax}} \, \cos(x) \in \{0,2\pi,4\pi\} }[/math], так как [math]\displaystyle{ \max {\cos x}=1 }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ [0,4\pi] }[/math] достигается при [math]\displaystyle{ x=0, 2\pi, 4\pi }[/math]