Однолистная функция

Однолистная функция — комплексная функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], голоморфная или мероморфная в области [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C} }[/math] и являющаяся биективным отображением между множеством [math]\displaystyle{ A }[/math] и его образом [math]\displaystyle{ f(A) }[/math].

Аналитическая функция [math]\displaystyle{ f }[/math] локально однолистна в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math], если существует некоторая окрестность [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0} }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] однолистна. Максимальная область однолистности для функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] — это область [math]\displaystyle{ A\subset\mathbb C }[/math], в которой [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] однолистна, но в любой области [math]\displaystyle{ A'\supset A }[/math] функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция [math]\displaystyle{ f }[/math], аналитичная в области [math]\displaystyle{ G }[/math], которая продолжается непрерывно на жорданову кривую [math]\displaystyle{ \partial G }[/math] и осуществляет взаимно однозначное отображение [math]\displaystyle{ \partial G }[/math] на [math]\displaystyle{ f(\partial G) }[/math], однолистна в [math]\displaystyle{ G }[/math].

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Литература

• Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения / пер. с англ. В. П. Хавина. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Милин, И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы. — М.: Наука, 1971.