Гипотеза Бибербаха

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — открытый единичный круг комплексной плоскости: [math]\displaystyle{ \Delta=\{z:|z|\lt 1\} }[/math].

[math]\displaystyle{ S }[/math] — множество всех аналитических и однолистных в [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] функций [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

[math]\displaystyle{ f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}c_nz^n. }[/math]

По гипотезе коэффициенты [math]\displaystyle{ |c_n|\leqslant n }[/math], причём [math]\displaystyle{ c_n=n }[/math] только для функций Кёбе вида

[math]\displaystyle{ k_\theta(z)=\frac{z}{(1-ze^{i\theta})^2}. }[/math]

История доказательства гипотезы

1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при [math]\displaystyle{ n=2 }[/math].
1923 год — доказана гипотеза для [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Автор доказательства — Чарльз Лёвнер^[англ.], для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
1955 год — доказательство для [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math]. Авторы — Гарабедян^[англ.], Шиффер^[англ.]. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для [math]\displaystyle{ n=6 }[/math] — Роджер Педерсон (Roger N. Pederson), Мицуру Одзава (Mitsuru Ozawa).
1972 год — доказана гипотеза для [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] — Педерсон, Шиффер.

1925 год — Литлвуд доказывает, что [math]\displaystyle{ |c_n|\leqslant e\cdot n }[/math] для любого [math]\displaystyle{ n }[/math].
1951 год — Базилевич, Милин Исаак Моисеевич: доказано соотношение [math]\displaystyle{ |c_n|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm{const} }[/math].
1965 год — Милин: [math]\displaystyle{ |c_n|\leqslant 1{,}243\cdot n }[/math].
1971 год — Милин: высказывает предположение, что сконструированная им последовательность логарифмических функционалов ( функционалы Милина) неположительна для любой функции из класса S и отмечает, что это свойство влечет доказательство гипотезы Бибербаха.
1972 год — Карл Фитцджеральд (Carl FitzGerald): [math]\displaystyle{ |c_n|\leqslant\sqrt{7/6}n }[/math].
1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.

Ссылки

Koepf W. Bieberbach’s conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1–3, pp 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2