Кривая Евдокса

График кривой Евдокса с a = 1

Кривая Евдокса (греческий: καμπύλη [γραμμή], что переводится как «кривая [линия]») — это кривая с уравнением в декартовых координатах

[math]\displaystyle{ x^4 = a^2(x^2+y^2), }[/math]

из которого исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризации

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

[math]\displaystyle{ r = a\sec^2\theta. }[/math]

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

[math]\displaystyle{ x=a\sec(t), \quad y=a\tan(t)\sec(t). }[/math]

История

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба.

Свойства

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a,0). Кривая имеет точки перегиба

[math]\displaystyle{ \left(\pm a\frac{\sqrt{6}}{2},\pm a\frac{\sqrt{3}}{2}\right) }[/math]

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к [math]\displaystyle{ x^2/a-a/2 }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], и, фактически, можно записать

[math]\displaystyle{ y = \frac{x^2}{a}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} = \frac{x^2}{a} - \frac{a}{2} \sum_{n=0}^\infty C_n\left(\frac{a}{2x}\right)^{2n}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ C_n = \frac1{n+1} \binom{2n}{n} }[/math]

является [math]\displaystyle{ n }[/math]-м числом Каталана.

Ссылки

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.