Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости, иногда также коэффицие́нт Гу́ка, жёсткость пружи́ны, — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k, иногда D или c. Имеет единицу измерения Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины:

[math]\displaystyle{ k = F_\mathrm{e} / \Delta l. }[/math]

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения [math]\displaystyle{ S }[/math] и длины [math]\displaystyle{ L }[/math]), записав коэффициент упругости как [math]\displaystyle{ k = E \cdot S / L. }[/math] Величина [math]\displaystyle{ E }[/math] называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня.

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

Параллельное соединение пружин.

Последовательное соединение пружин.

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями, равными [math]\displaystyle{ k_1, k_2, k_3,...,k_n, }[/math] жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть [math]\displaystyle{ k= k_1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_n. }[/math]

Доказательство

В параллельном соединении имеется [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями [math]\displaystyle{ k_1, k_2, ... , k_n. }[/math] Из III закона Ньютона, [math]\displaystyle{ F = F_1 + F_2 + \ldots + F_n. }[/math] (К ним прикладывается сила [math]\displaystyle{ F }[/math]. При этом к пружине 1 прикладывается сила [math]\displaystyle{ F_1, }[/math] к пружине 2 сила [math]\displaystyle{ F_2, }[/math] … , к пружине [math]\displaystyle{ n }[/math] сила [math]\displaystyle{ F_n. }[/math])

Теперь из закона Гука ([math]\displaystyle{ F = -k x }[/math], где x - удлинение) выведем: [math]\displaystyle{ F = k x; F_1 = k_1 x; F_2 = k_2 x; ...; F_n = k_n x. }[/math] Подставим эти выражения в равенство (1): [math]\displaystyle{ k x = k_1 x + k_2 x + \ldots + k_n x; }[/math] сократив на [math]\displaystyle{ x, }[/math] получим: [math]\displaystyle{ k = k_1 + k_2 + \ldots + k_n, }[/math] что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями, равными [math]\displaystyle{ k_1, k_2, k_3,...,k_n, }[/math] общая жёсткость определяется из уравнения: [math]\displaystyle{ 1/k=(1 / k_1 + 1 / k_2 + 1 / k_3 + \ldots + 1 / k_n). }[/math]

Доказательство

В последовательном соединении имеется [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями [math]\displaystyle{ k_1, k_2, ... , k_n. }[/math] Из закона Гука ([math]\displaystyle{ F = -k l }[/math], где l - удлинение) следует, что [math]\displaystyle{ F = k \cdot l. }[/math] Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения [math]\displaystyle{ l_1 + l_2+ \ldots + l_n = l. }[/math]

На каждую пружину действует одна и та же сила [math]\displaystyle{ F. }[/math] Согласно закону Гука, [math]\displaystyle{ F = l_1 \cdot k_1 = l_2 \cdot k_2 = \ldots = l_n \cdot k_n . }[/math] Из предыдущих выражений выведем: [math]\displaystyle{ l = F/k, \quad l_1 = F / k_1, \quad l_2 = F / k_2, \quad ..., \quad l_n = F / k_n. }[/math] Подставив эти выражения в (2) и разделив на [math]\displaystyle{ F, }[/math] получаем [math]\displaystyle{ 1 / k = 1 / k_1 + 1 / k_2 + \ldots + 1 / k_n, }[/math] что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

[math]\displaystyle{ k=\frac{E \, S}{L_0}, }[/math]

где

Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень;

S — площадь поперечного сечения;

L₀ — длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия.

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

[math]\displaystyle{ k = \frac{G \cdot d_\mathrm{D}^4}{8 \cdot d_\mathrm{F}^3 \cdot n}, }[/math]

где

d_D — диаметр проволоки;

d_F — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки);

n — число витков;

G — модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

См. также

• Закон Гука
• Сила упругости
• Роберт Гук
• Модуль Юнга
• Пружина