Коэффициент упругости
Коэффицие́нт упру́гости, иногда также коэффицие́нт Гу́ка, жёсткость пружи́ны, — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k[1], иногда D[2] или c[3]. Имеет единицу измерения Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).
Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.
Определение и свойства
Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины:
[math]\displaystyle{ k = F_\mathrm{e} / \Delta l. }[/math][4]
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения [math]\displaystyle{ S }[/math] и длины [math]\displaystyle{ L }[/math]), записав коэффициент упругости как [math]\displaystyle{ k = E \cdot S / L. }[/math] Величина [math]\displaystyle{ E }[/math] называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня[5].
Жёсткость деформируемых тел при их соединении
При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.
Параллельное соединение
При параллельном соединении [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями, равными [math]\displaystyle{ k_1, k_2, k_3,...,k_n, }[/math] жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть [math]\displaystyle{ k= k_1 + k_2 + k_3 + \ldots + k_n. }[/math]
В параллельном соединении имеется [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями [math]\displaystyle{ k_1, k_2, ... , k_n. }[/math] Из III закона Ньютона, [math]\displaystyle{ F = F_1 + F_2 + \ldots + F_n. }[/math] (К ним прикладывается сила [math]\displaystyle{ F }[/math]. При этом к пружине 1 прикладывается сила [math]\displaystyle{ F_1, }[/math] к пружине 2 сила [math]\displaystyle{ F_2, }[/math] … , к пружине [math]\displaystyle{ n }[/math] сила [math]\displaystyle{ F_n. }[/math])
Теперь из закона Гука ([math]\displaystyle{ F = -k x }[/math], где x - удлинение) выведем: [math]\displaystyle{ F = k x; F_1 = k_1 x; F_2 = k_2 x; ...; F_n = k_n x. }[/math] Подставим эти выражения в равенство (1): [math]\displaystyle{ k x = k_1 x + k_2 x + \ldots + k_n x; }[/math] сократив на [math]\displaystyle{ x, }[/math] получим: [math]\displaystyle{ k = k_1 + k_2 + \ldots + k_n, }[/math] что и требовалось доказать.
Последовательное соединение
При последовательном соединении [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями, равными [math]\displaystyle{ k_1, k_2, k_3,...,k_n, }[/math] общая жёсткость определяется из уравнения: [math]\displaystyle{ 1/k=(1 / k_1 + 1 / k_2 + 1 / k_3 + \ldots + 1 / k_n). }[/math]
В последовательном соединении имеется [math]\displaystyle{ n }[/math] пружин с жёсткостями [math]\displaystyle{ k_1, k_2, ... , k_n. }[/math] Из закона Гука ([math]\displaystyle{ F = -k l }[/math], где l - удлинение) следует, что [math]\displaystyle{ F = k \cdot l. }[/math] Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения [math]\displaystyle{ l_1 + l_2+ \ldots + l_n = l. }[/math]
На каждую пружину действует одна и та же сила [math]\displaystyle{ F. }[/math] Согласно закону Гука, [math]\displaystyle{ F = l_1 \cdot k_1 = l_2 \cdot k_2 = \ldots = l_n \cdot k_n . }[/math] Из предыдущих выражений выведем: [math]\displaystyle{ l = F/k, \quad l_1 = F / k_1, \quad l_2 = F / k_2, \quad ..., \quad l_n = F / k_n. }[/math] Подставив эти выражения в (2) и разделив на [math]\displaystyle{ F, }[/math] получаем [math]\displaystyle{ 1 / k = 1 / k_1 + 1 / k_2 + \ldots + 1 / k_n, }[/math] что и требовалось доказать.
Жёсткость некоторых деформируемых тел
Стержень постоянного сечения
Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости
- [math]\displaystyle{ k=\frac{E \, S}{L_0}, }[/math]
где
- Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень;
- S — площадь поперечного сечения;
- L0 — длина стержня.
Цилиндрическая витая пружина
Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости
- [math]\displaystyle{ k = \frac{G \cdot d_\mathrm{D}^4}{8 \cdot d_\mathrm{F}^3 \cdot n}, }[/math]
где
- dD — диаметр проволоки;
- dF — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки);
- n — число витков;
- G — модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).
См. также
Источники и примечания
- ↑ Упругая деформация . Архивировано 30 июня 2012 года.
- ↑ Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. — Springer, 2004. — P. 181 ..
- ↑ Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P. 11 ..
- ↑ Динамика, Сила упругости (недоступная ссылка). Дата обращения: 22 мая 2012. Архивировано 13 октября 2012 года.
- ↑ Механические свойства тел . Дата обращения: 22 мая 2012. Архивировано 15 февраля 2013 года.