Кольцо Безу

Кольцо Безу (названное по имени французского математика Этьена Безу) — это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что кольцо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно кольцо главных идеалов, обобщением которых кольца Безу и являются.

Целостное кольцо является кольцом Безу тогда и только тогда, когда в этом кольце любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД), представимый в виде их линейной комбинации. (Это условие означает, что каждый идеал с двумя образующими допускает одну образующую, из чего по индукции выводится, что каждый конечнопорождённый идеал является главным.) Представление НОДа двух элементов их линейной комбинацией часто называют тождеством Безу.

Свойства

Для кольца Безу R следующие условия эквивалентны:

1. R — кольцо главных идеалов.
2. R — нётерово.
3. R — область с однозначным разложением (факториальное кольцо).
4. R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек главных идеалов.
5. Всякий элемент R разложим в произведение неприводимых элементов.

Как и для колец главных идеалов, для колец Безу любой конечнопорождённый модуль над ними является прямой суммой свободного модуля и модуля кручения. Кроме того, любое кольцо Безу целозамкнуто, и любая локализация кольца Безу также является кольцом Безу.

Примеры

Примеры не нётеровых колец Безу:

• (Helmer, 1940) Кольцо функций, голоморфных на всей комплексной плоскости.
• Кольцо всех целых алгебраических чисел.

Литература

• Безу кольцо // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Cohn, P. M. Bezout rings and their subrings (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1968. — Vol. 64. — P. 251–264.