Калибровочная симметрия (математика)

В математике любая лагранжева система допускает калибровочные симметрии, возможно, тривиальные. В теоретической физике понятие калибровочной симметрии, зависящей от параметров, являющихся функциями координат, является краеугольным камнем современной теории поля.

Калибровочная симметрия лагранжиана [math]\displaystyle{ L }[/math] определяется как дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении [math]\displaystyle{ E }[/math], принимающий значения в линейном пространстве (вариационных или точных) симметрий [math]\displaystyle{ L }[/math]. Поэтому калибровочная симметрия лагранжиана [math]\displaystyle{ L }[/math] зависит от сечений расслоения [math]\displaystyle{ E }[/math] и их частных производных. Например, это случай калибровочных симметрий в классической теории поля, например, в калибровочной теории Янга — Миллса и калибровочной теории гравитации. Калибровочные симметрии обладают следующими двумя важными особенностями.

Во-первых, будучи лагранжевой симметрией, калибровочная симметрия лагранжевой системы удовлетворяет первой теореме Нётер, но соответствующий сохраняющийся ток симметрии [math]\displaystyle{ J^\mu }[/math] принимает вид

[math]\displaystyle{ J^\mu=W^\mu + d_\nu U^{\nu\mu} }[/math],

где первое слагаемое [math]\displaystyle{ W^\mu }[/math] обращается в ноль на решениях уравнения Эйлера — Лагранжа, а второе слагаемое сводится к дивергенции, где [math]\displaystyle{ U^{\nu\mu} }[/math] называется суперпотенциалом.

Во-вторых, в соответствии со второй теоремой Нётер имеет место взаимно однозначное соответствие между калибровочными симметриями лагранжиана и тождествами Нётер, которым подчиняется оператор Эйлера - Лагранжа. Таким образом, калибровочные симметрии характеризуют вырожденность лагранжевой системы.

См. также

Литература

Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mills type, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 175.
Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980) 213.
Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9.
Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 295 (1995) 1; arXiv: hep-th/9412228.
Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory, J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv: 0807.3003.
Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009).