Уравнение Лондонов
Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.
Уравнение Лондона
В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.
Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид
- [math]\displaystyle{ \frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mathbf{B} = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{j} }[/math] — плотность тока, [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] — магнитная индукция, [math]\displaystyle{ \lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi n q^2} }[/math], m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.
Лондоновская глубина проникновения
При помощи уравнения Максвелла [math]\displaystyle{ \operatorname{rot} \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c} }[/math] можно записать уравнение Лондона в виде[4]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{B}' + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B}' = 0, }[/math]
где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера-Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт
- [math]\displaystyle{ \mathbf{B} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B} = 0. }[/math]
Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], есть
- [math]\displaystyle{ \mathbf{B}(\xi) = \mathbf{B}(0) \exp \frac{-\xi}{\lambda}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{B}(\xi) }[/math] — индукция на глубине [math]\displaystyle{ \xi }[/math] под поверхностью. Параметр [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Для металлов [math]\displaystyle{ \lambda \sim 10^{-2} }[/math] мкм.
Природа сверхпроводимости
Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{rot} \mathbf{A} = \mathbf{B} }[/math], используя калибровку [math]\displaystyle{ \operatorname{div} \mathbf{A} = 0 }[/math] и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме
- [math]\displaystyle{ \frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{j} + \mathbf{A} = 0. }[/math]
В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением
- [math]\displaystyle{ \mathbf{P} = \sum \mathbf{p} = 2 \sum \left(m \mathbf{v} + \frac{q \mathbf{A}}{c}\right) }[/math].
Средний импульс на одну частицу можно записать в виде
- [math]\displaystyle{ \bar\mathbf{p} = \frac{q}{c} \left(\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{j} + \mathbf{A}\right) = 0. }[/math]
Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом [math]\displaystyle{ \mathbf{P} = 0 }[/math]. При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.
Первое уравнение Лондонов
Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид
- [math]\displaystyle{ n m \frac{d \mathbf{v}}{dt} = n e \mathbf{E}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math], [math]\displaystyle{ m }[/math] — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно[math]\displaystyle{ \mathbf{j} = n e \mathbf{v} }[/math], получим первое уравнение Лондонов:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{E} = \frac{d}{dt} (\Lambda \mathbf{j}), \quad \Lambda = \frac{m}{n e^2}. }[/math]
Второе уравнение Лондонов (вывод)
Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде
- [math]\displaystyle{ \operatorname{rot} \mathbf{H} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf {j} }[/math]
для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{W}_k = \frac{nmv^2}{2} = \frac{mj^2}{2ne^2} = \frac{\lambda^2}{8 \pi} (\operatorname{rot} \mathbf{H})^2, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \lambda^2 = \frac{m c^2}{4\pi n e^2}. }[/math]
Также объёмная плотность магнитной энергии равна [math]\displaystyle{ \frac{H^2}{8 \pi} }[/math], тогда свободная энергия может быть записана в виде ([math]\displaystyle{ F_0 }[/math] — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:
- [math]\displaystyle{ F = F_0 + \frac{1}{8\pi} \int [H^2 + \lambda^2 (\operatorname{rot} \mathbf{H})^2] \,dV. }[/math]
Первая вариация по полю равна
- [math]\displaystyle{ \delta F = \frac{1}{8\pi} \int [2 \mathbf{H} \,\delta\mathbf{H} + 2\lambda^2 \operatorname{rot} \mathbf{H} \operatorname{rot} \delta\mathbf{H}] \,dV = \frac{1}{4\pi} \int [\mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H}] \,\delta\mathbf{H} \,dV - \frac{\lambda^2}{4\pi} \int \operatorname{div} [\operatorname{rot} \mathbf{H}; \delta\mathbf{H}] \,dV = 0. }[/math]
Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем
- [math]\displaystyle{ \mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H} = 0, }[/math]
что вместе с выражением для векторного потенциала [math]\displaystyle{ \mathbf{j} = -\frac{c}{4\pi\lambda^2} \mathbf{A} }[/math], первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов [math]\displaystyle{ \operatorname{div} (\mathbf{A}) = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{A} \mathbf{n} = 0 }[/math] даёт искомое уравнение:
- [math]\displaystyle{ \frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0. }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor (англ.) // Proc. Roy. Soc. (London) : journal. — 1935. — March (vol. A149, no. 866). — P. 71.
- ↑ F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
- ↑ P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).
- ↑ Сивухин. Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т III. Электричество. — 4-е издание. — М.: МФТИ, 2004. — С. 321–322. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3. — ISBN 5-89155-086-5.
Литература
- Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.