Отображение Шварца — Кристоффеля

Теорема Шварца — Кристоффеля — теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Формулировка

Предположим, что [math]\displaystyle{ P\subset\mathbb C }[/math] — некоторый [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольник, а функция [math]\displaystyle{ f }[/math] осуществляет конформное отображение [math]\displaystyle{ {\mathbb H}^+ }[/math] на [math]\displaystyle{ P }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f }[/math] можно представить в виде

[math]\displaystyle{ f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^n(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2 }[/math],

где [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_n }[/math] — прообразы вершин [math]\displaystyle{ P }[/math] на вещественной оси, [math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n }[/math] — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если [math]\displaystyle{ n }[/math]-ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

[math]\displaystyle{ f(z)=C_1\int\limits_0^z\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta-a_k)^{\alpha_k-1}d\zeta+C_2 }[/math],

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_n }[/math], как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда интеграл Шварца-Кристоффеля
• 
  Звезда внутри интеграл Шварца-Кристоффеля