Интеграл Джексона

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — функция от вещественной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Интеграл Джексона для [math]\displaystyle{ f }[/math] определяется как следующий ряд:

[math]\displaystyle{ \int f(x)\,{\rm d}_q x = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x). }[/math]

В случае, если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] является другой функцией и [math]\displaystyle{ D_{q}g }[/math] означает её [math]\displaystyle{ q }[/math]-производную, формально её можно записать:

[math]\displaystyle{ \int f(x)\,D_q g\,{\rm d}_q x = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x)\,D_q g(q^k x) = (1-q)\,x\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(q^k x)\tfrac{g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^k x}, }[/math] или:

[math]\displaystyle{ \int f(x)\,{\rm d}_q g(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f(q^k x)\cdot(g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)), }[/math]

В результате получается [math]\displaystyle{ q }[/math]-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида).

Теорема

Если предположить, что [math]\displaystyle{ 0\lt q\lt 1 }[/math] и если значение [math]\displaystyle{ |f(x)x^\alpha| }[/math] ограничено на интервале [math]\displaystyle{ [0,A) }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ 0\leqslant\alpha\lt 1, }[/math] то интеграл Джексона сходится к функции [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] на [math]\displaystyle{ [0,A) }[/math], которая является q-первообразной функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Более того, [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] с [math]\displaystyle{ F(0)=0 }[/math] и является первообразной функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в этом классе функций.