Индекс Тейла
Индекс Тейла представляет собой показатель измерения социального неравенства, предложенный в 1967 году нидерландским экономистом Анри Тейлом[1]. Индекс Тейла основан на предложенном Шенноном понятии информационной энтропии. В отличие от коэффициента Джини индекс Тейла разложим, то есть, если популяция разбита на группы, то индекс Тейла всей популяции можно записать в виде взвешенной суммы индексов Тейла каждой из групп и показателя социального неравенства между группами. Разложимость индекса Тейла позволяет говорить о проценте социального неравенства, объяснимого заданным разбиением популяции на группы, и сравнивать различные разбиения[2].
Расчёт индекса Тейла
Индексы Тейла [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_0 }[/math] рассчитываются по следующим формулам[3]:
- [math]\displaystyle{ T_1=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\overline{x}} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ T_0=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \ln{\frac{\overline{x}}{x_i}} \right) }[/math]
где [math]\displaystyle{ x_i }[/math] доход [math]\displaystyle{ i }[/math]-го индивидуума, [math]\displaystyle{ \overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i }[/math] среднее значение дохода, и [math]\displaystyle{ N }[/math] количество индивидуумов в популяции. Если доходы всех индивидуумов равны, то индексы Тейла равны нулю. Если доход всей популяции сконцентрирован в руках одного индивидуума, то индексы Тейла равны ln N. Иногда в литературе индексом Тейла называется только индекс [math]\displaystyle{ T_1 }[/math], в то время как [math]\displaystyle{ T_0 }[/math] называется среднелогарифмическим отклонением[4]. Среднелогарифмическое отклонение чувствительно к изменениям у нижней границы шкалы распределения, в то время как индекс Тейла одинаково чувствителен к изменениям по всей шкале распределения[5].
Разложимость индекса Тейла
Если популяция разбита на группы [math]\displaystyle{ G_1, ..., G_J }[/math], то индекс Тейла можно записать как
- [math]\displaystyle{ T =\sum_{j=1}^J \omega_j*T(G_j) + T(\{y_1,...,y_J\}), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \omega_j = \frac{N_j}{N}\frac{y_j}{\overline{x}} }[/math], [math]\displaystyle{ y_j }[/math] — среднее значение дохода в группе [math]\displaystyle{ G_j }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i }[/math] среднее значение дохода во всей популяции, [math]\displaystyle{ N_j }[/math] — количество индивидуумов в группе [math]\displaystyle{ G_j }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — количество индивидуумов в популяции[2]. Отношение [math]\displaystyle{ \frac{T(\{y_1,...,y_J\})}{T} }[/math] — процент социального неравенства, объяснимый заданным разбиением на группы. Так, по 32,6 % неравенства уровней расходов в Индонезии может быть объяснено уровнем образования главы семьи, 18,9 % провинцией проживания и только 2,6 % гендером главы семьи[6].
Математические особенности индекса Тейла
Индекс Тейла инвариантен по отношению к умножению, то есть, он не изменяется при девальвации. Индекс Тейла не инвариантен по отношению к сложению.
Индекс Тейла и индекс Аткинсона
Индекс Аткинсона вычисляется с применением функции [math]\displaystyle{ 1-e^{- T} }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] — индекс Тейла[7].
Применения индекса Тейла
Кроме многочисленных применений в области экономики[6], индекс Тейла используется при оценке качества ирригационных систем[8] и распределения метрик программного обеспечения[9].
Ссылки
- Статистическая система R позволяет вычисление индекса Тейла с помощью пакета «ineq».
- Аналогичный пакет доступен и для системы MATLAB.
См. также
- Список стран по показателям неравенства доходов
- Индекс человеческого развития
- Индекс Аткинсона
- Коэффициент Джини
Примечания
- ↑ H. Theil, Economics and Information Theory, North-Holland, 1967.
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 F. A. Cowell, S. P. Jenkins, How much inequality can we explain? A methodology and an application to the United States, Economic Journal 105 (429) (1995) 421-30.
- ↑ INFORM (недоступная ссылка). Дата обращения: 19 октября 2010. Архивировано 25 марта 2009 года.
- ↑ F. A. Cowell, Measurement of inequality, Vol. 1 of Handbook of Income Distribution, Elsevier, 2000, pp. 87 — 166.
- ↑ Алин Кудуэль, Йеско С.Хендшель и Квентин T. Уодон. Измерение и анализ бедности. Дата обращения: 19 октября 2010. Архивировано 5 ноября 2010 года.
- ↑ Перейти обратно: 6,0 6,1 T. Akita, R. A. Lukman, Y. Yamada, Inequality in the distribution of household expenditures in Indonesia: A Theil decomposition analysis, Developing Economies XXXVII (2) (1999) 197—221.
- ↑ James E. Foster in annexe A.4.1 (p.142) of: Amartya Sen, On Economic Inequality, 1973/1997
- ↑ Rajan K. Sampath. Equity Measures for Irrigation Performance Evaluation. Water International, 13(1), 1988.
- ↑ A. Serebrenik, M. van den Brand. Theil index for aggregation of software metrics values. 26th IEEE International Conference on Software Maintenance. IEEE Computer Society.