Задача о покрытии полосками
Задача о покрытии полосками — классическая задача комбинаторной геометрии. В простейшем случае звучит так:
- Доказать, что круг диаметра [math]\displaystyle{ d }[/math] нельзя покрыть полосками с общей шириной меньше [math]\displaystyle{ d }[/math].
Задача о покрытии полосками известна как пример задачи, в которой при решении удобно перейти к рассмотрению высших размерностей.
О доказательстве
В трёхмерном варианте задачи вместо полосок берутся области между параллельными плоскостями. Решение этого варианта задачи легко следует из того, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит только от его высоты. В частности, сферу нельзя покрыть слоями с общей толщиной, меньшей диаметра сферы, а значит, нельзя и шар.
Из этого наблюдения немедленно следует двумерный случай. Это решение было предложено Гуго Штейнгаузом.
Вариации и обобщения
- В 1932 году Тарский выдвинул гипотезу, что если выпуклую фигуру можно покрыть полосками с общей шириной 1, то её можно покрыть одной полоской ширины 1. Утвердительный ответ получен Тёгером Бангом в 1951 году.[1]
- Следующий вариант задачи про относительную ширину полосок был предложен Бангом:
- Предположим, выпуклое тело [math]\displaystyle{ K }[/math] покрыто конечным числом полосок с ширинами [math]\displaystyle{ w_1,\dots,w_n }[/math], и [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_n }[/math] есть ширины [math]\displaystyle{ K }[/math] в соответствующих направлениях. Доказать, что
- [math]\displaystyle{ \frac{w_1}{v_1}+\dots+\frac{w_n}{v_n}\ge 1. }[/math]
- Предположим, выпуклое тело [math]\displaystyle{ K }[/math] покрыто конечным числом полосок с ширинами [math]\displaystyle{ w_1,\dots,w_n }[/math], и [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_n }[/math] есть ширины [math]\displaystyle{ K }[/math] в соответствующих направлениях. Доказать, что
См. также
- Теорема Монжа — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.
Примечания
- ↑ King, Jonathan L. Three problems in search of a measure (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1994. — Vol. 101. — P. 609—628. — doi:10.2307/2974690.
Литература
- И. М. Яглом. Т. Банг — В. Фенхель. Решение одной задачи о покрытии выпуклых фигур // Матем. просв., сер. 2. — 1957. — № 1. — С. 214—218.
- R. Alexander. A problem about lines and ovals (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75, no. 5. — P. 482—487.
- Bezdek, Károly. Tarski’s plank problem revisited // Geometry—intuitive, discrete, and convex. — 2013. — С. 45—64.
- Gardner, Richard. Relative width measures and the plank problem (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1988. — Vol. 135, no. 2. — P. 299—312.
- Bang, Thøger (1950), On covering by parallel-strips., Mat. Tidsskr. B.: 49–53
- Bang, Thøger (1951), A solution of the "plank problem", Proc. Amer. Math. Soc. Т. 2 (6): 990–993, doi:10.2307/2031721, <http://www.ams.org/journals/proc/1951-002-06/S0002-9939-1951-0046672-4/>