Задача Куратовского

Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского.

Формулировки

Оригинальная

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения.

Вариация

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности.

Решение

Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:

[math]\displaystyle{ (0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup\bigl([4,5]\cap\Q\bigr), }[/math]

Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание [math]\displaystyle{ c }[/math] и внутренность [math]\displaystyle{ i }[/math]

[math]\displaystyle{ cc(S)=c(S), }[/math]

[math]\displaystyle{ ii(S)=i(S), }[/math]

[math]\displaystyle{ icic(S)=ic(S), }[/math]

[math]\displaystyle{ cici(S)=ci(S). }[/math]

Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений:

если [math]\displaystyle{ A\subset B }[/math], то [math]\displaystyle{ c(A)\subset c(B) }[/math] и [math]\displaystyle{ i(A)\subset i(B) }[/math].

Поскольку [math]\displaystyle{ i(S)^\complement=c(S^\complement) }[/math], то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.

Литература

• B. J. Gardner et Marcel Jackson, « The Kuratowski Closure-Complement Theorem »
• Mark Bowron « The Kuratowski Closure-Complement Problem »
• « Theorem of the day »